¿Puede haber un$S \subseteq \mathbb{R}$ cerrado bajo la multiplicación y la suma con$|\mathbb{Q}| < |S| < |\mathbb{R}|$?

Question

En $ZFC+\lnot CH$ , ¿la declaración de que hay un $S \subseteq \mathbb{R}$ cerrado bajo la multiplicación y la suma con $|\mathbb{Q}| < |S| < |\mathbb{R}|$ verdadero, falso o independiente?

Answer 1

Sí. Tome $S$, que es un contraejemplo de la hipótesis del continuo, y considere el campo generado por $S$ dado por el teorema de Löwenheim – Skolem. Tiene la misma cardinalidad que $S$ , digamos $\aleph_1$ , y es un campo. Así que está cerrado bajo suma y multiplicación.