Ejemplos de paquetes de vectores no triviales

Question

Una vez que vea la noción de paquete vectorial, lo siguiente que desea ver son ejemplos de paquetes vectoriales no triviales.

Aquí, quiero recopilar estos ejemplos con una justificación de una o dos líneas que dicen por qué este paquete de vectores no es trivial.

Por favor agregue uno por respuesta.

Answer 1

Usted obtiene un ejemplo para todos los no-orientable suave colector $M$:

Un suave $n$-dimensiones del colector $M$ es orientable si existe un lugar de fuga $n$forma-es decir, un lugar de fuga de la sección del haz de $\Lambda^n(T^*M)$ cuya fibra, $p$ es el vectorspace de todos los multlinear alternando los mapas de $(T_pM)^n$ a $\mathbb R$. Desde este paquete es de 1-dimensional de la existencia de un lugar de fuga sección es equivalente a la trviality de la agrupación.

Como ejemplo, si $n$ es incluso entonces $\mathbb{RP^n}$ es no orientable. La razón :

Cualquier $n$forma $\omega$ a $\mathbb{RP^n}$ puede ser pulledback a un $n$forma $\bar\omega$ a $S^n$ a través del cociente mapa de $q:S^n\rightarrow\mathbb{RP^n}$. A continuación, después de la identificación de $TS^n\subset S^n\times\mathbb{R^{n+1}}$ hay $f\in C^\infty(S^n)$ tal que $\bar\omega_p(X_1,...,X_n)=f(p)\det(X_1,...,X_n,p)$. Como $q$ no puede distinguir antipodal puntos de $\bar\omega_{p}(X_1,...,X_n)=\bar\omega_{-p}(-X_1,...,-X_n)$. En particular, la configuración de $X_i=e_i$, $p=e_{n+1}$ rendimientos $f(-p)=-f(p)$ fin $S^n$ está conectado a$f$ tiene un cero, por lo $\bar\omega$ desaparece en algún lugar y por lo tanto también lo hace $\omega$.

Answer 2

Dado un mapa de $f:S^{k-1} \to GL(n)$, la construcción de un rango-$n$ bundle $\xi_f \to S^k$ adjuntando el trivial paquetes de $\theta^n_+, \theta^n_-$ sobre los dos hemisferios $S^k_+, S^k_-$ por $f$. Este mapa (el "embrague de la construcción"), en realidad, da un bijection entre $\pi_{k-1}(GL(n))$ y el vector de paquetes (hasta el isomorfismo) más de $S^k$. Probando el último que es un hecho es principalmente una cuestión de corrección de la definición, señalando que cualquier paquete de más de un contráctiles espacio (por ejemplo, cada hemisferio) es trivial. Como la mayoría de la topología algebraica, lo que demuestra que un determinado paquete generalmente consiste en mostrar que ciertos invariantes de éste (por ejemplo, la clase de Euler) son triviales, en lugar de tratar de demostrar nada directamente.

Answer 3

Muy importante en caso de vector paquete es la tangente del paquete de $TM$, la inconexión de la unión de todos los de la tangente espacios de un colector. De ser trivial es equivalente a $n(=\dim(M))$ linealmente independiente de vectores de los campos en el colector (es decir, $n$ secciones de la tangente bundle).

La cuestión de si un colector paralelo no es fácil (para referencias, ir aquí) :

Para $S^2$ esto no es cierto, y es una consecuencia de la famosa bola peluda teorema. Por la n-esfera en general, la única parallelizable $S^n$ son para $n=0,1,3,7$, es decir:

$TS^n$ no es trivial para cada $n\neq 0,1,3,7$

Por muy corto y auto-contenido de la prueba de la bola Peluda teorema (y un poco más en realidad) por Milnor, haga clic aquí

Para el resultado general en parallelizable esfera, la obra original se puede encontrar aquí

Para las referencias, consultar esta página de la Wikipedia

Answer 4

El ejemplo habitual es el paquete de Möbius. Sea $X = [0,1]\times\mathbb{R}$ y defina una relación de equivalencia $\sim$ donde $(0,y)\sim(1,-y)$ . Deje que $E = X/\sim$ sea nuestro espacio total y deje que $M = [0,1]$ . Luego, un paquete de vectores $\pi:E \rightarrow M$ viene dado por $[(x,y)] \mapsto x$ .