Demostrar que .

Question

Para $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ una función continua con la propiedad de que $2f(\frac{1-x}{1+x})=(1+x)^2$. Demostrar que $\int_{0}^{1}f(x)\arctan xdx=\frac{π}{8}\int_{0}^{1}f(x)$.

Sin embargo, he obtenido que $$\int_{0}^{1}f(x)\arctan xdx=\int_{0}^{1} 2f\left(\frac{1-t}{1+t}\right)\frac{1}{(1+t)^2}\arctan\left(\frac{1-t}{1+t}\right)dt=\frac{π}{4}-\int_{0}^{1}\arctan tdt$$ Which is $\frac{\ln 2}{2}$. However $\int_{0}^{1}f(x)dx=1$ después de cambios similares en la variable. Los resultados no coinciden, en conclusión.

Edit: he copiado el ejercicio correctamente. He puesto una foto de ti, lo siento por ser en rumano.

Answer 1

Suponiendo que usted quiso decir: $$2f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\color{orange}{f(x)}(1+x)^2$ $ Podemos comenzar con la integral dada y dejar que $x=\frac{1-t}{1+t}\Rightarrow dx=-\frac{2}{(1+t)^2}dt$ $$I=\int_{0}^{1}f(x)\arctan xdx=\int_0^1 \color{blue}{f\left(\frac{1-t}{1+t}\right)}\color{red}{\arctan \left(\frac{1-t}{1+t}\right)}\frac{\color{blue}{2}}{(1+t)^2}dt$ $ $$=\int_0^1 \color{blue}{f(t)}\left(\color{red}{\frac{\pi}{4}-\arctan t}\right)dt\overset{t=x}=\frac{\pi}{4}\int_0^1 f(x)dx-I$ $ $$\Rightarrow 2I=\frac{\pi}{4}\int_0^1 f(x)dx \Rightarrow I=\frac{\pi}{8}\int_0^1 f(x)dx$ $

Answer 2

Su enfoque es correcto, pero, como Zacky señalado, un factor de $f(x)$ falta en la citada propiedad de $f$.

Deje $x=\frac{1-t}{1+t}$, a continuación, $dx=\frac{-2dt}{(1+t^2)}$, $$\arctan(x)=\arctan(1)-\arctan(t),$$ y, mediante el uso de la propiedad dada $2f(x)=f(t)(1+t)^2$ (con $f$), obtenemos $$\int_{0}^{1}f(x)\arctan(x)\,dx=\int_{0}^{1}f(t)(\arctan(1)-\arctan(t))dt\\ = \frac{\pi}{4}\int_{0}^{1}f(t)\,dt-\int_{0}^{1}f(t)\arctan(t))\,dt$$ lo que implica que $$\int_{0}^{1}f(x)\arctan(x)\,dx=\frac{\pi}{8}\int_{0}^{1}f(t)\,dt.$$