Ejemplos de anillos con el ideal de celosía isomorfo a $M_3$, $N_5$

Question

En el pensamiento acerca de esta última cuestión, yo estaba leyendo acerca de la distribución de celosías, y el artículo de la Wikipedia incluye una muy interesante caracterización:

Una celosía es distributivo si y sólo si ninguno de sus sublattices es isomorfo a $M_3$ o $N_5$.

donde
$\hskip 1.7in$

Como las respuestas a la pregunta que demostrar, es bastante fácil de construir ejemplos de anillos con los no-distributiva ideal celosías; por ejemplo, cualquier Noetherian de dominio que tiene dimensión de Krull $>1$, o de no ser integralmente cerrado, tiene un no-distributiva ideal de celosía. Por ejemplo, fiel a la anterior caracterización, el entramado de los ideales de $k[x,y]$ $M_3$ sublattice: $$(x,y)$$ $$\text{ / }\qquad |\qquad \text{ \ }$$ $$\quad\quad(x)\quad\quad(y)\,\,\,\,\quad (x+y)$$ $$\text{ \ } \qquad |\qquad \text{ / }$$ $$(0)$$ Por supuesto, tiene muchas otras sublattices, e incluso en el ejemplo de arriba, hay otros ideales como $(x+2y)$, $(x^2)$, etc. que vive entre la $(0)$$(x,y)$, que nos han echado a los fines de conseguir nuestro $M_3$ sublattice. Lo que me gustaría ver son dos ejemplos de un anillo de tener un ideal de celosía isomorfo a $M_3$, y un anillo de haber ideal de celosía isomorfo a $N_5$. (Yo tome mis anillos conmutativos unital anillos, y quiero considerar el entramado de ideales como la inclusión de la $R=(1)$.) Como ya he mencionado, hay otros ideales entre el$(0)$$(x,y)$, por lo que conseguir un anillo con un $M_3$ ideal celosía no es tan fácil como la localización de $k[x,y]$$(x,y)$.

Mi mejor tiro en la producción de un anillo con un $M_3$ ideal de celosía se $R=\mathbb{F}_2[x,y]/(x,y)^2$, lo que ha $$R$$ $$|$$ $$(x,y)$$ $$\text{ / }\qquad |\qquad \text{ \ }$$ $$\quad\quad(x)\quad\quad(y)\,\,\,\,\quad (x+y)$$ $$\text{ \ } \qquad |\qquad \text{ / }$$ $$(0)$$

Así que, ¿cuáles son algunos buenos ejemplos de anillos de haber ideal de celosía isomorfo a $M_3$? ¿Qué acerca de la $N_5$?

Answer 1

No hay ningún tipo de anillos.

Un anillo conmutativo con un número finito de ideales es artinian. Un conmutativa artinian anillo es un producto directo de artinian local de los anillos. El producto directo de n local anillos tiene n máxima ideales, así que usted sabe que n = 2 o 3. Sin embargo, el entramado de un producto directo es un tipo de red de producto, y las celosías se dan no son tales productos (ya que son tan pequeños, simplemente revise todos los entramados de la correspondiente cardinalidad).

Para el particular celosías que usted está buscando, hay un recuento argumento: Si R, S son anillos, entonces los ideales de R × S son todos I × J de ideales I y J de R y S , respectivamente. En particular, si un anillo conmutativo había M₃ como un ideal de celosía, entonces sería un producto directo de tres artinian local de los anillos, y por lo que uno podría escribir 4 como un producto de tres enteros positivos mayores que 1. Si un anillo conmutativo había N₅ como un ideal de celosía, a continuación, 5 sería el producto de dos enteros positivos mayores que 1.

Answer 2

Sé que la pregunta original era sobre anillos conmutativos, pero yo sólo quería incluir en este post que hay un lindo ejemplo, si usted permite que no conmutativa anillos.

En $R=M_2(\mathbb{F}_2)$ (el 2 por 2 matriz de anillo con entradas desde el campo de dos elementos) hay exactamente cinco ideales, y la forma de la rejilla $M_3$. (Lo mismo puede decirse de la izquierda ideales.)

Debido a $R$ es semisimple cada uno de los derechos ideal generado por un idempotente. Uno puede comprobar que hay 6 trivial idempotents, pero en realidad resulta que en parejas y solo generan tres diferentes ideales. Estos ideales son: $$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}R, \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}R, \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}R$$

No debe olvidarse que para comprobar que sus pares de las intersecciones se $\{0\}$ y que sus pares sumas de dinero se $R$!

Answer 3

Considere la posibilidad de $R=\mathbb F_2[x,y]/(x^2,xy,y^2)$. Esta es local, y el máximo ideal es $\mathfrak{m}=(x,y)R$ $2$- dimensional $\mathbb F_2$ espacio vectorial, cuya subespacios son precisamente los ideales de $R$. Debido a que la base de campo es muy pequeña, hay exactamente cinco de dichos subespacios.