¿Por qué solo obtengo una respuesta al evaluar$x^2=2x$?

Question

Lo que esta pregunta no es acerca de

• Sé que esperar dos respuestas $\{2,0\}$, (prueba de ellos, al conectarlos a la ecuación).
• Yo sé cómo llegar a ellos de forma gráfica.
• Sé cómo conseguir el algebraicamente:
  • $x^2 = 2x$
  • $x^2 - 2x = 0$
  • $(x-2)(x-0)=0$
  • $(x-2)(x)=0$
  • $x=0, x=2$

Sin embargo

Mi primer intento sólo tiene una respuesta, y veo nada de malo.

• $x^2 = 2x$
• $x = 2$ (dividiendo por $x$)

¿Qué estoy haciendo mal? ¿Cómo se puede detectar este error antes de tiempo? Puedo coger este error al final, como espero que los dos respuestas. En este caso hay poca diferencia entre el punto de error y el final, pero en problemas más complejos puede ser un largo tiempo entre ellos, así que me gustaría coger esto antes. ¿Cómo puedo saber dónde me salió mal?

Answer 1

$$x^2=2x$$ Si $x \neq 0$, podemos dividir por $x$: $$x=2$$ Y usted debe comprobar qué ocurre si $x=0$. De forma similar: $$(x-2)(x-3)x=2x(x-2)$$ Si $x-2 \neq 0$ podemos dividir por $x-2$: $$x(x-3)=2x$$ Si $x \neq 0$ podemos dividir por $x$: $$x-3=2$$ $$x=5$$ Y debemos volver y comprobar qué ocurre si $x=0$ o $x-2=0$.

Answer 2

Me identifico bastante duro a esta pregunta, porque recuerdo que luchan con esto en mis primeras clases de álgebra.

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La razón por la que su enfoque no obtener todo el conjunto de soluciones es este... Así que tenemos $x^2 = 2x$. Supongamos que estamos ciegos a la realidad de lo que estas raíces son. Podemos decir que hay dos por lo menos, sin duda.

Podemos dividir por $x$, aunque?

Inicialmente, parece ser así, ¿verdad? Hay un factor en cada lado, que acaba de "cancelar".

Pero entonces, como se advirtió en una de las raíces es $0$. Más explícitamente, $x=0$.

Así que cuando se divide por $x$ en ambos lados, estás dividiendo por las raíces de la ecuación, es decir, estás dividiendo por $0$ cuando se considera una raíz en particular. Que no es kosher como usted probablemente sabe, y es por eso que este método no es infalible. Ya que una de las raíces no es cero, usted puede conseguir que la raíz, por lo menos, pero no el cero de la raíz.

Answer 3

Al comenzar a resolver la ecuación de $x^2=2x$, $x$ potencialmente puede ser cualquier número (o números). Usted no tiene idea de porque obviamente aún no ha resuelto la ecuación. Supongamos que uno de los números que hace que la ecuación cierto es cero: $$ x\cdot x=2\cdot x\\ 0\cdot 0=2\cdot 0\\ 0\cdot\frac{0}{0}=2\cdot\frac{0}{0}\implica 0=2 $$

Usted obtener un absurdo resultado, porque se acaban de violar uno de los principios básicos en matemáticas: no se puede dividir por cero, porque la división por cero es un indefinido operación en matemáticas. Tan pronto como usted está tratando de dividir algo por cero, estás dong nada, pero las matemáticas porque en matemáticas, estrictamente hablando, no existe tal operación como la división por cero.

¿Por qué es la división por cero sin sentido? Permítanme citar la Wikipedia en esto:

Ordinario de la aritmética, la expresión $\frac{a}{0}$ no tiene ningún significado, ya que no hay número que, cuando se multiplica por 0, da un (suponiendo que a ≠ 0), y así la división por cero no está definida. Ya que cualquier número multiplicado por cero es cero, la expresión $\frac{0}{0}$ también es indefinido.

Usted todavía podría dividir por $x$ con la condición de que $x\ne 0$:

$$ x^2=2x\\ \frac{x^2}{x}=\frac{2x}{x}\\ x=2 $$

Y entonces usted tendría por separado para comprobar si $x=0$ también es una raíz de la ecuación:

$$ x^2=2x\\ 0^2=2\cdot 0\\ 0=0 $$

Así, resulta que $x=0$ es también una solución. Por lo tanto, su solución de conjunto se compone de dos números: $2$ e $0$.

Answer 4

Cuando se hace una división por $x$, está implictly suponiendo que $x\neq 0$. De lo contrario, sería dividir por cero, que es indefinido.

Pero esta hipótesis es algo que se ha introducido en su proceso de cálculo. En la ecuación original, $x^2 = 2x$, no había nada diciendo que $x$ debe ser distinto de cero.

Por lo tanto, usted tiene que comprobar manualmente que inserta el supuesto de no eliminar ninguna de las soluciones de la ecuación original. En este caso, esto significa que usted debe comprobar manualmente si $x = 0$ es una solución.

Aquí está una demostración de lo que está pasando, se hizo explícita. Comenzamos con la ecuación

$$x^2 = 2x $$

Ahora nos dicen que, si (una suposición) el valor de $x$ es distinto de cero, entonces tenemos que $$\frac{x^2}{x} = \frac{2x}{x} $$ que se simplifica a $$x = 2. $$

Pero vamos a ir hacia atrás, lo que si no es distinto de cero? O dicho más simplemente, lo que si es cero?

A continuación, $x^2 = 0^2 = 0$ e $2x = 2\cdot 0 = 0$. Estas expresiones son iguales entre sí (ambos son iguales a cero), por lo tanto $x=0$ también satisface la ecuación original. Llegamos a la conclusión de que $x = 0$ e $x = 2$ son las soluciones.

(Cabe destacar que lo primero que nos encontramos todas las soluciones al $x\neq 0$ y, a continuación, cuando se $x = 0$. Esto agota todos los números reales, por lo que sabemos que ningún número real distinto de $0$ e $2$ puede ser la solución.)