He sido presentado con el unidimensional de la ecuación de onda:
$$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac1{c^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$$
para una determinada cadena de longitud $L$ que se fija en los dos extremos.
Al principio, yo tenía que Formular las condiciones de contorno para este problema. Me dijo que eran:
$$y(0, t) = y(L, t) = 0$$
En segundo lugar, tuve que separar las variables, etc, etc, para encontrar los componentes para hacer la solución. Aquí me obtenidos, el uso de $y(x, t) = X(x)T(t)$
$$X(x) = A\sin(px) + B\cos(px)$$ $$T(t) = A'\sin(pct) + B'\sin(pct)$$
Utilizando la fórmula de las condiciones de contorno en $X(x)$, obtuve que $$p_n = \frac {n\pi}{L}$$ y también que $B = 0$
El uso de este, tuve que escribir una solución general de la ecuación de onda. Supongo que esta es la siguiente:
$$y(x,t) = \sum _{n=0}^{\infty }\:\big[C_n\sin(p_nct)+D_ncos(p_nct)\big]\sin(p_nx) $$ donde $C_n =AA'$ e $D_n = AB'$
A partir de aquí, tenía que probar la orthonormality relación de $\phi_n (x)=\sin(\frac{n\pi x}{L})$, que era simple. Para la referencia:
$$\int_{0}^{L} \phi_n(x)\phi_m(x)dx=\frac L2 \delta_{nm}$$ (No estoy 100% seguro de si esto es relevante para la última parte de la pregunta)
Y por último (ahora la parte que estoy atascado con) "Supongamos ahora que la cadena es inicialmente (en $t=0$) tirado por $0.06$ a $x=\frac L5$ y luego se libera. Determinar el parcial correspondiente solución de la ecuación de onda.
He tratado de obtener la solución con $y(\frac{L}{5}, 0)$ cuales fueron las condiciones dadas, para obtener: $$\sum_{n=1}^{\infty}\:D_n\sin(p_n\frac{L}{5})=\sum_{n=1}^{\infty}\:D_n\sin(\frac{n \pi}{5}) = 0.06$$ de mi de la solución original.
En el momento inicial, la velocidad es $0$ que conduce a todas las $C_n = 0$.
Luego de mi intento de determinar el $D_n$ dio $\frac{3}{25}$ (utilizando el método parecido a la Serie de Fourier), en lugar de $\frac{3}{4 \pi^2 n^2}$ (el resultado correcto, como se muestra abajo).
No estoy seguro de por qué no estoy recibiendo la respuesta correcta para $D_n$
La respuesta final debe ser:
$$\sum_{n=1}^{\infty}\:\big[\frac{3}{4 \pi^2 n^2}\sin(\frac{\pi n}{5})\big]\sin(\frac{\pi n x}{L})\cos(\frac{\pi c n t}{L})$$
Pero yo estoy muy atascado en el momento (para encontrar el coeficiente). Todas las sugerencias y la ayuda será apreciada!!
