Un ingenioso truco de desigualdad de triángulos.

Question

Yo estaba leyendo la prueba de un teorema y en un punto de la argumentación, el autor sólo plantea una desigualdad de la que yo no podía derivar, pero es probablemente sólo una aplicación inteligente de la desigualdad de triángulo.

El problema es el siguiente. Deje $f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser uniformemente continua y $\epsilon, \delta >0$ que si $x,y\in \mathbb{R}$ san $|x-y| < \delta$, que, a continuación, $|f(x)-f(y)|, |g(x)-g(y)| <\epsilon$. Deje $I \subset \mathbb{R}$ ser un intervalo de con $diam(I) < \delta$

A continuación, el autor de los estados sin la prueba de que $\sup_{x,y\in I} |f(x)-g(y)|^p < |f(t)-g(t)+2\epsilon|^p$ para todos los $t \in I$., $p\geq 1$

Se siente como si esto debería ser fácil de demostrar, pero se me ha pegado a él durante bastante tiempo ahora. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Parece ser un error, posiblemente un error tipográfico. Considere el siguiente $2$ uniforme de funciones continuas

$$f(x) = bx - c \tag{1}\label{eq1}$$ $$g(x) = \left| x \right| + a \tag{2}\label{eq2}$$

con $a, b \in \mathbb{R}$, $a \gt 0$, $b \gt 1$ e $c \gt 0$. También, vamos a $\delta = 1$. En este caso, $|f(x)-f(y)| \lt b$ e $|g(x)-g(y)| \lt 1$ en el intervalo, de modo que podemos elegir $\epsilon = b$. A continuación, vamos a $I = [-0.9, -0.1]$. Tenga en cuenta que

$$\left| f(-0.9) - g(-0.1) \right| = \left| -0.9b - c - 0.1 - a \right| = 0.9b + c + 0.1 + a \tag{3}\label{eq3}$$

A continuación, vamos a $t = -0.5$ conseguir

$$\left| f(-0.5) - g(-0.5) + 2\epsilon \right| = \left| -0.5b - c - 0.5 - a + 2b \right| = \left| 1.5b - c - 0.5 - a \right| \tag{4}\label{eq4}$$

Hay muchos valores para $a, b \text{ and } c$ que muestran que la base solicitó a la desigualdad de

$$|f(x)-g(y)| < |f(t)-g(t)+2\epsilon| \tag{5}\label{eq5}$$

no se sostiene. Por ejemplo, si $b = 2$, $c = 1$ e $a = 1$, entonces \eqref{eq3} da $3.9$ mientras que \eqref{eq4} dar $0.5$.

Answer 2

Tenemos $$ | f (x) -g (x) | = | f (x) -f (t) + f (t) -g (x) + g (t) -g (t) | $$ Y esto es menor que $$ | f (t) -g (t) +2 \ epsilon | $$ por continuidad uniforme