La cosa es $\infty$ no se refiere a un número que es "infinitamente grande". No hay tal cosa, ni tampoco significa que un número arbitrariamente grande-un número aún sería finito, ni hace referencia a cualquiera de los valores reales.
Es algo incorrecto decir cosas como $1+1+1+.... = \infty$ o $\frac 10 = \infty$ o $\frac 1\infty = 0$. Esas son todas las declaraciones incorrectas.
Más técnicamente, la forma correcta de estado que esas serían como límites:
$\lim_{n\to \infty} \underbrace{1+1+1+.... +1}_{n\text{ times}} = \infty$o $\lim_{x\to 0^+} \frac 1x = 0$ e $\lim_{x\to \infty} \frac 1x = 0$.
La frase "$\lim_{x\to c} somethingexpressedintermsof(x) =k$" significa.... así, de manera informal, es decir, "como $x$ se acerca más y más a $c$ entonces $somethingexpressedintermsof(x)$ se acerca más y más a $k$".
Por ejemplo, $\lim_{x\to 5} x^2 = 25$.
Ahora bien, si en lugar de llegar "más y más" a algo específico, queremos expresar la idea de que los valores son "más grandes" y que, si usted se imagina cualquier número tan grande como quieres que este valor en algún punto de conseguir que los grandes e incluso mayores que los que, cuando utilizamos el símbolo $\infty$.
PERO ESTO ES IMPORTANTE! El símbolo no representa ninguna real valor. Sólo representa la idea de que una serie de valores que pueden ser más grande y para cualquier valor que usted puede imaginar la serie de valores en algún lugar de conseguir tan grande como eso.
Por lo $\lim_{x\to \infty} \frac 1x = 0$ significa que si tomamos $x = 1,000$ entonces $\frac 1x$ estará cerca de $0$ y si tomamos un valor mayor como $x= 10^{1,000}$ o $x=10^{googol}$ o $x$ llegar "más y más" recibimos $\frac 1x$ hace más y más grande.
Alternativamente $\infty$ puede estar en el "lugar de la detonación". $\lim_{x\to 5}\frac 1{x-5} = \infty$ significa esto: si tomamos $x$ realmente muy cerca de $5,$ entonces $\frac 1{x-5}$ va a ser muy, muy grande. Y podemos hacer $\frac 1{x-5}$ tan grande como nos gusta por tomar $x$ tan cerca de $5$ como nos gusta.
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Bien, así que si $\infty$ es el símbolo para conseguir que las cosas realmente grandes, ¿cuál es el símbolo para conseguir que las cosas realmente pequeñas. Bueno, ... que significa "acercarse a $0$". Tuvimos que todo el tiempo.
$\lim_{x\to 0} \frac {x^2 + 4x}{x}=4$ significa que "si tomamos $x$ a ser tan arbitrariamente pequeño, como nos gusta". Y eso es más o menos el concepto que usted desea. No hay tal cosa como $\infty$ o un número que es "infinitamente grande" y que no hay tal cosa como un número que es "infinitamente pequeño". Y si un número de llegar infinitamente grande "tiende hacia el infinito", el número de llegar infinitamente pequeño "tienden a cero".
Y eso es prácticamente todo.
... Sin EMBARGO...
Queremos ser capaces de hacer operaciones matemáticas con estos pequeños valores, estos valores que son arbitrariamente cercano a cero, pero no del todo en cero.
Cuando hacemos lo que nos dicen con frecuencia: "Vamos a $\epsilon > 0$ ser arbitrariamente pequeño" O "Vamos a $\delta$ ser arbitrariamente un pequeño número positivo" o "vamos a $h > 0$". En estos casos, sin embargo, es importante darse cuenta de que, aunque estamos tratando de averiguar lo que sucede cuando estas variables get "infinitamente pequeño", en ningún momento o valor son estos números nada extraño o diferente. Estas variables representan real en los números de lo normal. Sólo muy pequeñas.
Por ejemplo, considere este problema: si $f(x) = x^2 + 5,$ lo $\lim_{x\to 5} \frac {f(x) -f(5)}{x-5}$?
Deje $|h| > 0$ ser arbitrariamente pequeño. Entonces si $x = 5 + h$ hemos
$\frac {f(5+h) - f(5)}{(5+h) - 5} = \frac {(25 + 10h + h^2) - 25}{h}= \frac {10h + h^2}{h} = 10 + h$.
Por lo $\lim_{x\to 5} \frac {f(x) -f(5)}{x-5}$
$= \lim_{h\to 0} \frac {f(5+h) - f(5)}h $
$ = \lim_{h\to 0}10 + h = 10 + 0 = 10$.
Observe que a pesar de $h$ es nuestro "infinitamente pequeño" número, es un número real.
También tenga en cuenta que si $h$ hace realidad la igualdad de $0$ softonic no consigue $\frac {f(5+h) - f(5)}h = 10$. Llegamos $\frac {f(5+h) - f(5)}h=\frac 00$ es indefinido basura. Esto sólo funciona si $h$ es "arbitrariamente pequeño" y recibimos $\frac {f(5+h)-f(5)}h = 10 + h,$ y como $h$ es "arbitrariamente pequeño" esto $\to 10$ como $h\to 0$.
