Una agradable desigualdad IMO 1983 de una desigualdad más fuerte

Question

Si usted está interesado en la OMI $1983$ consulte: $$3[a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)]\geqq b(a+b-c)(a-c)(c-b),$$ donde $a,b,c$ son tres de lado las longitudes de un triángulo.

Si $c≠{\rm mid}\{a,b,c\}$, la desigualdad es verdadera, obviamente! Si $c={\rm mid} \{a,b,c\}$, tenemos $$(a - c)(c - b)= 0 \Leftrightarrow c= \frac{c^2+ab}{a+b}.$$ Traté de demostrar que $$f(c)- f\left(\frac{c^2+ab}{a+b}\right)=(a - c)(c - b)X\geqq 0,$$ donde $$f(c)= 3[a^2b(a - b) + b^2c(b - c) + c^2a(c - a)]- b(a + b - c)(a - c)(c - b),$$ pero sin éxito! He encontrado esta desigualdad mediante el uso de discriminante y algunos coeficiente de habilidades.

Espero que intenta resolver el resto por su cuenta! Buena suerte a todos! Muchas gracias!

Answer 1

Considerar tres casos.

1. $a=\max\{a,b,c\}$, $a=x+u+v,$ $b=x+u$ e $c=x+v$, donde $x>0$, $u\geq0$ e $v\geq0.$

Por lo tanto, $$3[a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)]-b(a+b-c)(a-c)(c-b)=$$ $$=(4u^2-4uv+3v^2)x^2+3(2u^3+u^2v-uv^2+v^3)x+2u^3(u+2v)\geq0;$$

2. $b=\max\{a,b,c\}$, $b=x+u+v,$ $a=x+u$ e $c=x+v$, donde $x>0$, $u\geq0$ e $v\geq0.$

Por lo tanto, $$3[a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)]-b(a+b-c)(a-c)(c-b)=$$ $$=(4u^2-4uv+3v^2)x^2+(6u^3-5u^2v+5uv^2+3v^3)x+2u(u^3-uv^2+3v^3)\geq0$$ y

3. $c=\max\{a,b,c\}$, $c=x+u+v,$ $a=x+u$ e $b=x+v$, donde $x>0$, $u\geq0$ e $v\geq0.$

Por lo tanto, $$3[a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)]-b(a+b-c)(a-c)(c-b)=$$ $$=(3u^2-2uv+3v^2)x^2+(3u^3+6u^2v-2uv^2+3v^3)x+6u^3v\geq0$$ y hemos terminado!

En realidad, el siguiente más fuerte desigualdad también es cierto.

Deje $a$, $b$ e $c$ ser lados de longitudes de un triángulo. Probar que: $$a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq b(a+b-c)(a-c)(c-b).$$