Una identidad integral peculiar.

Question

Aquí estaba yo, inocentemente, tratando de resolver esta tarea de enormes proporciones de aspecto integral

$$\int_0^\pi e^{v \cos \theta \cos t} \cosh(v \sin \theta \sin t) dt $$

cuando la belleza interior detrás de esta bestia lentamente comenzó a revelar a sí mismo.

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Por supuesto, la primera cosa que hice fue comprobar si WolframAlpha puede ayudar, inútilmente.
El siguiente en mi tabla de búsqueda fue Gradshteyn y Ryzhik. Sin embargo, de nuevo, el dios de las integrales no tuvo misericordia de mí y me dejó a mi propio dispositivo.

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Para obtener una primera impresión he trazado la función, que debe ser integrado, que es para $f_{\theta}(t) = e^{\cos \theta \cos t} \cosh(\sin \theta \sin t)$, obtenemos las siguientes parcelas:

Bueno, nada demasiado especial acerca de eso. Así que procedí tratando de evaluar numéricamente la integral de la misma. Y entonces, algo extraño sucedió...

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Resulta que la integral es invariante bajo $\theta$!
Mejor aún, nos han

$$\int_0^\pi e^{v \cos \theta \cos t} \cosh(v \sin \theta \sin t) dt = \int_0^\pi e^{v \cos t} dt = \pi I_0(v)\quad \forall \theta \in [-\pi,\pi]\; ,$$

donde la primera igualdad se me acaba de establecer $\theta = 0$ y la segunda igualdad es una identidad conocida de la función modificada de Bessel de primera especie. Ahora, sólo me topé con esta identidad numéricamente, y me preguntaba si alguien puede compartir alguna de las analíticas de sabiduría con respecto a esto. Poner en una pregunta:

¿Alguien sabe por qué esta identidad se mantiene?

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Bono

Yo ahora se enfrentan a la misma integral pero con un adicional de término lineal, que es

$$\int_0^{\pi} tf_{\theta}(t)dt \; ,$$ con $f_{\theta}$ como se define arriba. Tengo la esperanza de que las técnicas que iluminan la identidad también arrojar algo de luz en esta nueva integral, que por cierto es no constante en $\theta$ más.

Answer 1

El principal problema, un poco de álgebra: \begin{align*}e^{v\cos\theta\cos t}\cosh(v\sin\theta\sin t) &= e^{v\cos\theta\cos t}\left(e^{v\sin\theta\sin t}+e^{-v\sin\theta\sin t}\right)\\ &= \frac12\left(e^{v\cos\theta\cos t+v\sin\theta\sin t}+e^{v\cos\theta\cos t-v\sin\theta\sin t}\right)\\ &= \frac12\left(e^{v\cos(\theta-t)}+e^{v\cos(\theta+t)}\right)\end{align*} Ahora integramos: \begin{align*}\int_0^{\pi}e^{v\cos\theta\cos t}\cosh(v\sin\theta\sin t)\,dt &= \frac12\int_0^{\pi}e^{v\cos(\theta-t)}+e^{v\cos(\theta+t)}\,dt\\ &=\frac12\left(\int_0^{\pi}e^{v\cos(\theta+t)}\,dt+\int_{-\pi}^{0}e^{v\cos(\theta+s)}\,ds\right)\\ &=\frac12\int_{-\pi}^{\pi}e^{v\cos(\theta+t)}\,dt = \frac12\int_{-\pi-\theta}^{\pi-\theta}e^{v\cos s}\,ds\end{align*} Voltear $\theta-t$ a $\theta+s$ nos da una integral sobre la otra mitad del período - y es la misma función, así nosotros sólo tienes que escribir como una integral. Entonces, en ese final integral de $e^{v\cos s}$ más de un período completo, no importa si este período es; de $-\pi$ a $\pi$ es el mismo que el de $-\pi-\theta$ a $\pi-\theta$.

Que nos deja con la función de Bessel de identidad, que el valor promedio de $e^{v\cos t}$ durante un periodo completo de las es $I_0(\cos v)$. Para ello, desde funciones de Bessel son definidos por una ecuación diferencial, podemos diferenciar (bajo el signo integral): \begin{align*}I(v) &= \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{v\cos\theta}\,d\theta\\ I'(v) &= \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos\theta\cdot e^{v\cos\theta}\,d\theta\\ I''(v) &= \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\cdot e^{v\cos\theta}\,d\theta\\ I'(v) &= \frac1{2\pi}\left[\sin\theta\cdot e^{v\cos\theta}\right]_{\theta=0}^{\theta=2\pi} +\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin\theta\cdot v\sin\theta\cdot e^{v\cos\theta}\,d\theta\\ I'(v) &= \frac{v}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\cdot e^{v\cos\theta}\,d\theta\end{align*} Las tres primeras líneas son $I$ y sus derivados, se calcula de la manera obvia. Luego, en los dos siguientes, podemos aplicar la integración por partes para transformar la $I'$ integral en una forma que funciona mejor con los demás. Luego, a partir de $\cos^2+\sin^2=1$, obtenemos $vI''(v)+I'(v)-vI(v)=0$, la versión modificada de la ecuación de Bessel de orden cero. Junto con la condición inicial $I(0)=1$ (ya que el valor promedio de $1$ es $1$) y $I'(0)=0$, esto le da a ese $I(v)=I_0(v)$. Hecho.

Una breve nota sobre el bono de la pregunta: se le puede aplicar el mismo identidades, pero estamos en problemas cuando tratamos de veces más y transformar la $e^{v\cos(\theta-t)}$ plazo en un integrante más de $[-\pi,0]$. La forma en que el $t$ factor transforma, nos encontramos con $$\frac12\int_{-\pi}^{\pi}|t|\cdot e^{v\cos(\theta+t)}\,dt$$ Multiplicar por un triángulo de onda no va a salir limpiamente. Yo miraría en serie de Fourier siguiente, pero no en esta respuesta.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \begin{align*} I_\theta &= \frac14\int_0^{2\pi}e^{v\cos\theta\cos t}\left(e^{v\sin\theta\sin t}+e^{-v\sin\theta\sin t}\right) \mathrm dt\\&=\frac14\int_0^{2\pi}e^{v\cos(t-\theta)} \mathrm dt+\frac14\int_0^{2\pi}e^{v\cos(t+\theta)} \mathrm dt. \end {align *}$$ Because $ t \ mapsto e ^ {v \ cos t}$ is $ 2 \ pi $ -period, tenemos $$ \ int_0 ^ {2 \ pi} e ^ {v \ cos (t- \ theta)} \ mathrm dt = \ int_0 ^ {2 \ pi} e ^ {v \ cos (t + \ theta)} \ mathrm dt = \ int_0 ^ {2 \ pi} e ^ {v \ cos t} \ mathrm dt $$ por lo que se deduce que $$ I_ \ theta = \ frac 12 \ int_0 ^ {2 \ pi} e ^ {v \ cos t} \ mathrm dt = \ int_0 ^ \ pi e ^ {v \ cos t} \ mathrm dt. $$