Si$D$ es una matriz diagonal, ¿cuándo está el conmutador$DA - AD$ de rango completo?

Question

Supongamos $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ es de rango completo. Estoy buscando una condición suficiente en $A$ tal que para algunos matriz diagonal $D \in \mathbb{C}^{n \times n}$, el colector $D A - A D$ es de rango completo.

He trabajado algunas condiciones necesarias- $A$ e $D$ no puede compartir un autovector, por lo que no hay ninguna columna de $D$ puede tener $n-1$ cero índices (es decir, no hay ninguna columna de $A$ es un modelo a escala de la columna de la matriz identidad).

Para $n=2$, \begin{align} DA - A D &= \begin{bmatrix} 0 & (d_1 - d_2) a_{1,2} \\ (d_2 - d_1) a_{2, 1} & 0 \end{bmatrix}\\ \det(DA - AD) y= (d_1-d_2)^2 a_{1,2} a_{2,1}, \end{align} así que un $a_{1,2}, a_{2,1} \neq 0$ es a la vez necesaria y suficiente.

Pero para $n=3$,

\begin{align} DA - A D &= \begin{bmatrix} 0 & (d_1 - d_2) a_{1,2} & (d_1 - d_3) a_{1, 3} \\ (d_2 - d_1) a_{2, 1} & 0 & (d_2 - d_3) a_{2, 3} \\ (d_3 - d_1) a_{3, 1} & (d_3 - d_2) a_{3, 2} & 0 \end{bmatrix}\\ \det(DA - AD) y= (d_1-d_2)(d_1-d_3)(d_2-d_3) (a_{1,2} a_{2,3} a_{3,1} - a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}). \end{align} Así que si $(a_{1,2} a_{2,3} a_{3,1} - a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2})=0$, $DA - AD$ es el rango deficiente, independientemente de la elección de $D$.

Q1: ¿hay una interpretación geométrica para la restricción $(a_{1,2} a_{2,3} a_{3,1} - a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}) \neq 0$?

P2: no tengo una forma factorizada de la determinante (un plazo en función de las $D$, un período en $A$) $n > 3$. Es $n=3$ un caso especial?

Q3: ¿hay una condición suficiente en $A$ tal que $DA - AD$ es de rango completo para $n>3$?

Prefiero no asumir $A$ es positiva definida.

Edit: Si $A$ es simétrica, $DA - AD$ es sesgar-simétrica y por lo tanto el rango deficiente si $n$ es impar.

T4: $A$ simétrica es una forma de hacer $(a_{1,2} a_{2,3} a_{3,1} - a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2})=0$, pero claramente otras opciones de resultado en un rango de deficiencia de colector. Hay una manera correcta de expresar esto por $n > 3$?

Answer 1

Una respuesta para Q3:

Condición suficiente: $n$ es incluso y $A$ pueden ser particionados \begin{equation} A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \end{equation} donde la $n/2 \times n/2$ bloques de $A_{12}$ e $A_{21}$ son cada rango completo.

Prueba: Construir $D$ como \begin{equation} D = \begin{bmatrix} I_{n/2} & 0 \\ 0 & 0_{n/2} \end{bmatrix}, \end{equation} y el colector es \begin{equation} DA - AD = \begin{bmatrix} 0_{n/2} & A_{12} \\ -A_{21} & 0_{n/2} \end{bmatrix}. \end{equation} El distinto de cero bloques de rango completo por supuesto.