Integral

Question

PS

Intenté sustituir $${\dfrac{1}{\pi^2}}\int_{0}^{\infty}\dfrac{{(\ln{x}})^2}{\sqrt{x}{(1-x)^2}} \mathrm d x$ por $1/x$, pero el único cambio en la integral es que el $x$ se mueve en el numerador del denominador. No entiendo que sustituir. $\sqrt{x}$ no parece funcionar.

Answer 1

Se puede dividir la integral en $1$ y el uso de su sustitución en la segunda parte. Entonces la integral se convierte en $$ I \equiv \int \limits_0^\infty \frac{\ln^2 (x)}{\sqrt{x} (1-x)^2} \, \mathrm{d} x= \int \limits_0^1 \left(\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x}\right) \frac{\ln^2 (x)}{(1-x)^2} \, \mathrm{d} x \, .$$ Ahora vamos a $x = \mathrm{e}^{-2 t} $ e integrar por partes para obtener $$ I = 4 \int \limits_0^\infty \frac{t^2 \cosh(t)}{\sinh^2(t)} \, \mathrm{d} t = 8 \int \limits_0^\infty \frac{t}{\sinh(t)} \, \mathrm{d} t = 16 \int \limits_0^\infty \frac{t \mathrm{e}^{-t}}{1 - \mathrm{e}^{-2 t}} \, \mathrm{d} t\, .$$ Por último, el uso de la serie geométrica para ampliar el denominador y el reconocimiento de la Dirichlet función lambda: $$ I = 16 \sum \limits_{n=0}^\infty \int \limits_0^\infty t \mathrm{e}^{-(2n+1) t} \, \mathrm{d} t = 16 \sum \limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2} = 16 \lambda (2) = 12 \zeta(2) = 2 \pi^2 \, .$$ Por lo tanto, $\frac{1}{\pi^2} I = 2$ .