Secuencias no compuestas.

Question

Puede que usted proporcione un contraejemplo para una demanda dada de abajo?

Inspirado por Rompecabezas 937 he formulado la siguiente declaración:

Para cualquier $n > 0$ deje $B = p_1 \cdot p_2 \cdot .... \cdot p_n$ ser el producto de la primera $n$ números primos. Deje $X$ ser el número más pequeño, más grande que la de $B^k/p_{n+1}$ y coprime a $B^k$, donde $k$ es un fijo entero positivo. Definir el número de $m_n$ como $X \cdot p_{n+1}-B^k$ , a continuación, $m_n$ es $1$ o el primer ministro.

Probar por ti mismo!

Yo estaba buscando contraejemplo utilizando la siguiente PARI/GP código:

CE(lb,ub,k)={
for(n=lb,ub,
B=prod(i=1,n,prime(i));
X=ceil((B^k)/prime(n+1));
while(gcd(X,B^k)!=1,
X++);
m=X*prime(n+1)-B^k;
if(!(ispseudoprime(m) || m==1),print(m)))
}

Answer 1

Tras el tamizado $p_n$, números de coprime a la primoral $p_n\#$ es de los primeros, al menos hasta $p_{n+1}^2$ ($1$ y la plaza de excluir, por supuesto)

por ejemplo, $p_n=5$, números de coprime a $p_n\#=30=B$ (también coprime a $B^k$) $\{1,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,...\}$ y es de los primeros a $49$.

Estos números se expresan generalmente en esta forma: $p_n\#\cdot i+\{1,p_{n+1},...\}$

por ejemplo, para $p_n=3$ son expresados como $$6i+\{1,5\}$$ por ejemplo, para $p_n=5$ son expresados como $$30i+\{1,7,11,13,17,19,23,29\}$$

Obviamente, $X$ es coprime a $B^k$ (que fue elegido en el coprime lista) y así es $p_{n+1}$ lo que significa que $X\cdot p_{n+1}$ es también coprime a $B^k$(=$30i$ en nuestro ejemplo) y desde $X\cdot p_{n+1}=B^k+m_n$, sabemos $m_n$ está en que coprime lista.

$m_n=p_{n+1}\cdot x$ donde $x=X-\frac{B^k}{p_{n+1}}$ es menor que la separación máxima entre coprimes en la lista (ya que elegimos la primera pequeños coprime mayor que $\frac{B^k}{p_{n+1}}$). Si esta separación máxima es menor que $p_{n+1}$, a continuación, $m_n<p_{n+1}^2$ y por lo tanto es el primer o $1$.

Creo que se ha demostrado que la separación máxima entre los números coprime a $p_n$ es menor que $p_{n+1}$, pero voy a echar un vistazo cuando tengo un poco más de tiempo.

edit: bueno....no fue http://oeis.org/A048670