Por supuesto, uno puede definir reales espacios vectoriales $\Bbb R^n$ para cualquier entero positivo $n$. Lo que distingue a los números reales ($\Bbb R$), el de los números complejos ($\Bbb C$), cuaterniones ($\Bbb H$), y octonions $(\Bbb O)$ es una estructura adicional, incluyendo una operación de multiplicación $\Bbb A \times \Bbb A \to \Bbb A$.
Hurwitz Teorema establece que (hasta el isomorfismo) son, precisamente, todos de la normativa de la división de álgebras de más de $\Bbb R$. Estas son las álgebras de más de $\Bbb R$ (1) con la propiedad de que la $x y = 0$ implica $x = 0$ o $y = 0$ y (2) un multiplicativo norma $||\,\cdot\,||$ (por lo tanto, la satisfacción de $||x y|| \leq ||x||\,||y||$). (Para una verdaderamente agradable introducción a esta rica círculo de ideas, recomiendo altamente Juan Báez' clásico artículo de La Octonions.)
Todavía se puede definir, sin embargo, otros canónica operaciones algebraicas $\Bbb A \times \Bbb A \to \Bbb A$ en verdaderos espacios vectoriales $\Bbb A = \Bbb R^n$ durante varios pequeño $n$ que todavía tiene otras propiedades interesantes, y la normativa álgebras de división y el de Cayley-Dickson construcción de conducir naturalmente a muchos de estos.
Por ejemplo, cada uno de la normativa de la división de álgebras está equipado con un (involutiva) lineal conjugación de operación $\bar\cdot : \Bbb A \to \Bbb A$ compatible con la adición, la multiplicación y la norma operaciones (por $\Bbb R$ esto es sólo el trivial mapa, para $\Bbb C, \Bbb H, \Bbb O$ estos son sólo los habituales de la conjugación de los mapas). En cada caso, la $+1$-subespacio propio de la conjugación del mapa es sólo la copia de $\Bbb R$, y para el $-1$-autoespacio tiene dimensión $\dim \Bbb A - 1$. Denotamos el último espacio de $\operatorname{Im} \Bbb A$ (por lo tanto, como un espacio vectorial es isomorfo a $\Bbb R^{\dim \Bbb A - 1}$), denotan la proyección de $\Bbb A \to \operatorname{Im} \Bbb A$ sobre el $\operatorname{Im}$, y llame a sus elementos imaginarios. Ahora, $\Bbb A \times \Bbb A \to \operatorname{Im} \Bbb A$, $(x, y) \mapsto \operatorname{Im} (x \bar y)$, restringe a un nuevo sesgo de simetría binario de operación, $$\times:\operatorname{Im} \Bbb A \times \operatorname{Im} \Bbb A \to \operatorname{Im} \Bbb A .$$ In particular, these operations do not have identities (after all, the identity $1 \en \Bbb$ no es imaginario).
Para $\Bbb A = \Bbb R$ e $\Bbb A = \Bbb C$, esta construcción sólo conduce a la cero mapa en $\Bbb R^0$ e $\Bbb R^1$---así que, no es muy interesante.
Para $\Bbb A = \Bbb H$, $\times : \Bbb R^3 \times \Bbb R^3 \to \Bbb R^3$ no es otra cosa que la conocida cruz de productos, la recuperación de Henning Makholm la sugerencia. Seguimiento a través de las definiciones (y haciendo unos sencillos cálculos) muestra que la asociatividad de $\Bbb H$ implica la triple cruz de la identidad del producto $({\bf x} \times {\bf y}) \times {\bf z} = \langle {\bf y}, {\bf z} \rangle {\bf x} - \langle {\bf x}, {\bf z} \rangle {\bf y}$ a $\Bbb R^3$, y la formación de la cíclico suma de esta identidad en la ${\bf x}, {\bf y}, {\bf z}$ da la identidad de Jacobi, $$({\bf x} \times {\bf y}) \times {\bf z} + ({\bf y} \times {\bf z}) \times {\bf x} + ({\bf z} \times {\bf x}) \times {\bf y} = {\bf 0} ,$$
por lo $\times$ es en realidad el soporte de la operación de una real Mentira álgebra, es decir, $\mathfrak{so}(3, \Bbb R)$. (NB que $\times$ sí es no asociativo.) De manera más general, cualquier propiedad de la multiplicación en $\Bbb A$ induce una propiedad de $\times$ a $\operatorname{Im} \Bbb A$.
Para $\Bbb A = \Bbb O$, $\times : \Bbb R^7 \times \Bbb R^7 \to \Bbb R^7$ es algo exótico $7$-dimensiones de producto cruzado. No satisface la identidad de Jacobi, por lo que no es el soporte de algunos Mentira álgebra, sino que está íntimamente relacionado con el (la compacta forma real) de la excepcional Mentira álgebra $\mathfrak{g}_2$.
Podemos generar más ejemplos canónicos de estructuras algebraicas en $\Bbb R^n$ si lo modificamos el Cayley-Dickson de la construcción mediante la definición de una adecuada álgebra $\Bbb A$ la regla de la multiplicación $$(a, b)(c, d) := (ac \color{red}{+} \bar d, da + b \bar c)$$ on $\Bbb A \times \Bbb$ (replacing the red $\color{rojo}{+}$ with $-$ gives the usual Cayley-Dickson construction). If we successively apply this again to $\Bbb R$, producimos
la división de números complejos ($\widetilde {\Bbb C}$), el split-cuaterniones ($\widetilde {\Bbb H}$), y la división-octonions ($\widetilde {\Bbb O}$), respectivamente, de la dimensión de $2, 4, 8$. Estos no son normativa de la división de álgebras---en lugar de una norma, estas están equipadas con una forma cuadrática indefinida, haciendo de ellos la composición de álgebras (y junto con los cuatro normativa álgebras de división, esto representa todos los bienes de la composición de álgebras de hasta isomorfismo). Estas álgebras, como el nombre y la notación sugieren, comparten muchas funciones algebraicas con sus nonsplit contrapartes. Dos son en realidad familiar: Como $\Bbb R$-álgebras, $\widetilde{\Bbb C} \cong \Bbb R \oplus \Bbb R$ e $\widetilde{\Bbb H} \cong M(2, \Bbb R)$ (el espacio de $2 \times 2$ real matrices). En particular, a diferencia de la normativa de la división de álgebras, estas álgebras tiene divisores de cero.
La misma construcción como antes, ahora se dirige a un "split" de la cruz del producto en $\Bbb R^3$ que puede ser comprendido como la Mentira de soporte en $\mathfrak{sl}(2, \Bbb R) \cong \mathfrak{so}(1, 2)$, así como un "split" de la cruz del producto en $\Bbb R^7$. En ambos casos se trata de no equivalentes a la cruz de los productos descritos anteriormente.
Finalmente, ocurre algo especial en la configuración dividida que no tiene análogo en la normativa de la división de álgebra de ajuste: Hasta el isomorfismo, hay un $6$-dimensiones álgebra $\Bbb S \cong \Bbb R^6$, $\widetilde{\Bbb H} \subset \Bbb S \subset \widetilde{\Bbb O}$, único hasta el isomorfismo se llama, por supuesto, la sextonions. Resulta que (pero no es inmediatamente obvio) que los de split $7$-dimensiones producto cruzado restringe a una operación binaria en $\operatorname{Im} \Bbb S \cong \Bbb R^5$.
