¿Por qué la notación de funciones parecen ser objeto de abuso y ambiguo?

Question

Yo realmente necesito aclarar un par de cosas acerca de la notación de la función; I parece que no puede entender cómo interpretarlo. A partir de ahora, yo sé que una función es aproximadamente un mapeo entre un conjunto $X$ y un conjunto $Y$, donde no elemento de $X$ está vinculado con más de un elemento de $Y$. Esto parece bastante simple. Sé que esta función es comúnmente denotado por un de una sola letra, como $f$, $g$, o $h$. Yo también que cuando se trata de "reglas" para la función, $f$ denota el conjunto de instrucciones matemáticas que diga cómo encontrar una salida en conjunto $Y$ dada una entrada en el conjunto de $X$. $x$ es la entrada, $f$ es la función, y $f(x)$ es el resultado de aplicar f a una entrada de $x$, es decir, la salida. Mi pregunta principal es, ¿por qué muchos autores dicen que llame a $f(x)$ la función? Esto realmente me confunde, ya que $f(x)$ es un variable para un número real, y no una asignación entre dos diferentes los conjuntos. A raíz de este, ¿por qué algunos dicen que una expresión como $2x + 5$ es una función? Como se dijo antes, esto parece ser sólo un cantidad variable que varía con $x$, pero no es una función en sí misma. Por último, si es cierto que las $x$ es la entrada, $f$ es la función, y $f(x)$ es la salida, entonces ¿por qué nos manipulan funciones, como la $f$, a través de la salida de $f(x)$? Por ejemplo, tenemos la imagen de $x$ bajo $f$, $f(x) = 2x^2 + 5x$. The only way to find $f'$ (the derivative of $f$) es manipular $f(x)$. Si nos vamos a la manipulación de funciones, entonces ¿por qué debemos de referencia de una variable de entrada $x$ en el proceso? ¿Por qué tenemos que tener $f(x)$ con el fin de encontrar la derivada de $f$?

Uno de los más confusos aspectos acerca de la notación de la función es el la diferenciación del operador. $dy/dx$ representa la "infinitesimal" cambio en $y$ con respecto a la "infinitesimal" cambio en $x$, y desde $y = f(x)$, we can write $df(x)/dx$. El aspecto confuso de esto es que nosotros decimos "tomar la derivada de la función $f(x)$"; sin embargo, $f(x)$ no puede ser un función porque es igual a $y$, que es una cantidad variable, no una la función. Para añadir a la confusión, podemos decir que la diferenciación operador $d/dx$ asigna una función, $f$, a su derivado, $f'$. Sin embargo, como con $df(x)/dx$, tenemos $f(x)$ con el fin de transformar la función de $f$ en $f'$. Esto parece muy confuso, porque entonces parece que el operador de la derivada, $d/dx$, en realidad mapas de $f(x)$$f'(x)$, ya que tenemos $f(x)$, para calcular la derivada. La diferenciación operador es sólo un ejemplo de una más amplia la frustración con la notación de la función.

En resumen, sé que $x$ es la entrada, $f$ es la la función, y la $f(x)$ es la imagen de $x$ bajo $f$, que a menudo puede ser dado por una expresión algebraica. Sé que $f$ es una asignación, por lo que $f: x \mapsto f(x)$. This means that $f$ is the function that maps $x$ to an output $f(x)$. He decidido esto para mí, pero siempre me tropiezo cuando veo los autores u otras personas se refieren a $f(x) =$ "algunas expresión" como el la función. Está claro que $x$ es una variable de un real número y $f(x)$ es una variable de un número real que es dependiente de la en $x$. A continuación, $f$ es la función, la asignación que los vínculos $x$$f(x)$; sin embargo , la gente insiste en decir que algo como $2x + 1$ es una función. Además, sé que la diferenciación es un operador $d/dx: f \mapsto f'$. Sin embargo, con el fin de calcular los derivados, no nos da una la función $f$, nos da la imagen de $x$ bajo $f$, $f(x)$. Esto significa que parece que el la diferenciación operador debe de ser $d/dx: f(x) \mapsto f'(x)$. Sin embargo, no creo que esto es correcto, y es uno de los principales puntos de mi confusión.

EDIT: Mirando a algunos de los comentarios, tengo una pregunta más. Cuando definimos una función, solemos hacerlo por escrito $f: X \rightarrow Y$, de tal manera que $f(x) = 5x^2$, por ejemplo. Mi otra pregunta es, ¿por qué es necesario, con el fin de definir la regla de una función, utilice una variable x como la variable de entrada en la función? ¿Por qué no podemos definir funciones como $f(~)$, sin referencia a ninguna de las variables, ya que es la especificación de la acción de la función, no la imagen de $x$ bajo $f$...

Answer 1

$f(x)$ significa que tanto el mapa de $x \mapsto \textrm{whatever}$ y la imagen de $x$ bajo $f$, dependiendo del contexto.

Algunas personas prefieren una más estricta de la convención de siempre escribir la función como $f$. En la práctica me parece generalmente hay poco lugar para la confusión, y diciendo: "la función de $f(x)$" muy bien recuerda al lector cuál es la variable independiente de la $f$ (en el caso de que $f$ contiene muchas de las constantes, etc).

Sin embargo, como usted señala, hay excepciones donde la confusión surgir, especialmente cuando se toma derivados. Por ejemplo, es $$\frac{\partial f(x^2)}{\partial x}$$ la derivada de $f$ evaluado en $x^2$? O la derivada de la composición de $f$$x^2$? ¿Qué acerca de $$\frac{\partial f}{\partial x}(x^2)?$$ De nuevo, uno puede generalmente de averiguar a qué se refería, pero aquí definitivamente hay un potencial para la confusión. Con funciones de varias variables se pone aún peor; por ejemplo, en física se suelen definir las funciones de $L(x^i, x^{i+1})$ y, a continuación, la necesidad de diferenciar $$\frac{\partial}{\partial x^i} \sum_{j=0}^n L(x^{j}, x^{j+1}).$$ Es difícil escribir una expresión para la derivada, que no es una completa abominación. Usted puede volver atrás y cambiar el nombre de las variables independientes de $L$ uso de marcadores de posición menos probabilidades de llevar a la confusión, pero quizá lo mejor es cambiar a la notación como $D_1 f$ para denotar la diferenciación parcial de $f$ con respecto a su primer parámetro.

Answer 2

Creo que la cuestión de la notación siendo abusados y ambigua se aplica a muchas cosas más que funciones dentro de las matemáticas. Yo podría (y creo que esto ha sido hecho antes en este sitio) hacer una lista de anotaciones (o expresiones), cuyo significado es dependiente de contexto. En la práctica, un atajo, o la conveniencia, la notación nunca suele ser un problema.

Sin embargo, yo creo que hay veces cuando el contexto no es suficiente. Considere cómo:

$f^2(x) = f(f(x))$

para la mayoría de las funciones, pero también he visto a los (muy extraño para mí):

$sin^2(x) = (sin(x))^2$

lo que me desconcertó mucho cuando vi por primera vez. Pero, de nuevo, yo soy más de un programador de un matemático, por lo tanto, me gusta cuando las expresiones no son ambiguos. Me pidió un matemático (de vuelta en la década de 1980) "¿Cómo puedo saber cuándo $f^n(x)$ es la iteración y cuando se trata de elevar el resultado de la aplicación de un poder?", y él pensó por unos minutos y luego dijo: "creo que es el último, cuando la función es trascendental". Pero yo no estoy tan seguro de que su respuesta: he visto a $\log^2x$ ambos $\log(\log x)$ $(\log x)^2$ y me vuelve loco! (Por el camino de $\log \log n$ aparece a menudo en el algoritmo de análisis).

Señalo esto porque este es un caso donde el contexto es a menudo insuficiente para eliminar la ambigüedad de la notación. Entonces, ¿por qué alguien que usa la notación para elevar el resultado a una potencia, para empezar? Creo que era para ahorrar tiempo escribiendo entre paréntesis! Sí, para el intercambio de conveniencia para la ambigüedad! Pero cuando esta notación se hizo popular, no eran más ingenieros de los que había matemáticos puros y funcional de los programadores de que se trate con la función de iteración. :)

EDIT: En los comentarios de abajo, alguien dijo que la notación tiene un anillo de la teoría de la justificación.

Ahora para volver a tu pregunta, en el caso de $f(x)$ en referencia a la función versus el resultado de la aplicación, personalmente, como quien hace la programación funcional, que no me hacen triste ver "la función de $f(x)$" cuando el codominio de $f$ es el de los números reales, porque yo tan mal quieren que el codominio funciones! Sí, me gusta funciones de orden superior, y casi me siento mal por los que.... oh, no importa.

La fuente probable de la expresión $f(x)$ cuando alguien significa escribir sólo $f$ es que el primero da una indicación de la arity de la función. Dicho esto, se crea una ambigüedad, lo que usted debe tratar de averiguar, pero el texto que lo rodea debe hacer lo que normalmente se puede. Los seres humanos no están obligados a estar todo el tiempo sin ambigüedades y super-precisa, por lo que tomamos de anotación de las libertades.

Ahora, obviamente, un problema puede ocurrir si usted toma este abuso de notación y tratar de usarlo en un programa. No conozco muchos lenguajes de programación que iba a tolerar ese tipo de ambigüedad.

En cuanto a tu otro punto, sí, si alguien trató de decir que $2x+5$ es una función, es probable que sólo lo hacen porque no quieren escribir, o escribir $\lambda x. 2x+5$ -- tal vez porque no les gusta las letras griegas (broma) o cualquier otra de las innumerables representaciones de funciones anónimas. De nuevo, se permite a la gente hacer esto porque están siendo informal. Cuando se escriben programas, sí debemos decir:

• (x) -> 2*x + 5 // CoffeeScript
• function(x){return 2*x+5} // JavaScript
• (LAMBDA (x) (+ (* 2 x) 5)) ; Lisp
• fn x => 2 * x + 5 (* ML *)
• #(+ (* 2 %) 5) ; Clojure

y así sucesivamente.

TL;DR es permitido porque es informal, y sí, también se espera que infiera a partir del contexto. Me has dado algunas ideas de por qué algunos de los ambigüedad podría haber surgido: las mismas razones que las personas de acceso directo de cualquier cosa en la comunicación! Podemos vivir con esto en matemática de la comunicación entre las personas, pero no para la programación.

RESPUESTA A SU EDITAR PREGUNTA:

Se preguntó por qué definimos las funciones usando variables como $x$ $y$ en lugar de definir sin referencia a ninguna de las variables. Ahora si tu pregunta fue uno de diferenciar

$$f =_{def} \lambda x. \lambda y. 2x+y$$

from

$$f(x,y) =_{def} 2x+y$$

then the answer is that the second is probably easier to write. However, we can do something more interesting, as is done in the programming language Clojure: let %1 be the first argument to the function, and %2 be the second argument, and so on, and define the brackets #( and ) to wrap a function expression. Now we can write:

$$f =_{def} \#(2(\%1) +\%2)$$

y, de hecho, podemos utilizar la función anónima expresiones. Que en particular la notación puede ser una pero feo, pero me animo a intentar inventar una buena notación, y cambiar el mundo para mejor. Si lo capturas, lo que es.

Answer 3

La mayoría de las veces, las funciones puede ser definido por una expresión (por ejemplo, $2x+5$), porque el uso de la expresión, podemos deducir muchas cosas acerca de la función (como la de su dominio, y la "regla" para obtener una salida dada una entrada). El fraseo "$f(x)$" es sólo una expresión genérica.

También, el contexto y la notación ayuda mucho, así que si usted está leyendo un libro sobre espacios vectoriales, usted sabe que cuando el autor dice

la función de $Ax+b$

él realmente quiere decir algo así como:

la función de $f:E\to F,x\mapsto Ax+b$ donde $E$ $F$ son espacios vectoriales, $b\in F$ $A$ es una matriz.

Usted puede incluso saber que $E=F$, o que $E=\mathbb R^n$, o algo así. De todos modos, como se puede ver, la primera es mucho más simple.

Como para los derivados, se puede diferenciar una expresión. Nunca he visto a una formalización de este, pero la gente no escriba $$\frac{d}{dx}\left\{2x^2 + 3x + 5\right\}=4x+3$$ without ever mentioning functions. So that $df(x)/dx$ is an expression, and $df/dx$ is a function $df/dx:D\a Y$, where $D$ is the set of points where $f$ is differentiable, and $S$ is $\mathbb R$ o, más en general, un espacio de operadores lineales.

EDIT: en cuanto a su pregunta, usted puede definir una función sin mencionar una variable ("$f$ ser la función que toma un número real y le da el quíntuple de su plaza"), pero por lo general, es más fácil escribir "Vamos a $f(x)=5x^2$". También, la expresión "$5x^2$" es mucho más familiar para la mayoría de los lectores de la escritura de "el quíntuple del cuadrado de un número real".

Answer 4

Creo que el formalismo elimina la ambigüedad en lugar de aumentar como se definen las variables de la función. En esencia, la notación de la diferencia de las variables de las "constantes" de la función.

Más técnicamente, el "constantes" en realidad debería ser algo así como "variables, definida/asumidas en otros lugares, dependientes o independientes de la variable dependiente(s) de la función definida por la definición dada aquí", mientras que teniendo en cuenta que el / la dependiente/independiente de las variables también pueden ser funciones, pero estoy divagando.

Considere esto: $$f(x) = ax \\ \frac{d}{dx}f(x) = (\frac{d}{dx}a)x + (\frac{d}{dx}x) = 0 + 1a = a$$ , donde a es constante arbitraria (o una variable/función independiente de x).

Sin embargo, yo creo que hay problemas con la notación, pero no está en la ambigüedad como el resultado de la voluntad (?) siguen siendo los mismos, independientemente de la forma en que consideramos el problema, sino en "ocultar la ofuscación".

Consideremos esto: $$f(x) = ax \\ plátano = x \\ \frac{d}{dx}f( plátano ) = \ldots = un$$ Lo que sucede en la ... de la última fila?

Por ejemplo, debe constantes en realidad ser manejado como una clase especial de funciones independientes (es decir. por ejemplo. a = 9 <-> a( ) = 9 o incluso una( x ) = 9 + 0x) o cómo el plátano debe ser manejado (es decir. f( plátano ) = x o plátano( x ) = x , o ...) o...? El problema es que lo que pasa en el ... cambios, que sin duda es ambigua, pero el resultado – un – debe seguir siendo el mismo.

En esencia, hay un montón de corto entrega sucediendo en el álgebra. Por lo tanto, creo que el problema simplemente se reduce a lo que es considerado azúcar sintáctico en lugar de axiomática de expresión.

Answer 5

No es la notación de la función que abusa es el dx de notación. dy/dx es incorrecto incorrecto incorrecto. El único problema es el de Newton de la notación no es realmente mucho mejor.

[Si quiere discutir dy/dx es la derecha, lidiar con dy^2/d^2x].