Tengo problemas para conciliar varios términos en el MDS. Según [1], sección 14.8, el MDS clásico toma similitudes como entradas. En [2], también citado en Wikipedia , el MDS clásico toma disimilitudes como entradas.
¿Cuál es la terminología acordada?
[1] Hastie, T, R Tibshirani y JH Friedman. The Elements of Statistical Learning. Springer, 2003.
[2] Borg, I., y P. J. F. Groenen. Modern Multidimensional Scaling: Theory and Applications. 2nd edition. New York: Springer, 2005.
Estos dos libros coinciden plenamente.
El escalamiento multidimensional clásico (entendiendo por "MDS clásico" el MDS de Torgerson, siguiendo tanto a Hastie et al. como a Borg & Groenen) encuentra puntos $z_i$ tal que sus productos escalares $\langle z_i, z_j \rangle$ aproximar lo mejor posible una matriz de similitud dada. Sin embargo, cualquier matriz de disimilitud puede convertirse en una matriz de similitud: se supone que las disimilitudes son distancias euclidianas, a partir de las cuales pueden calcularse productos escalares centrados y tomarse como similitudes.
Así, el algoritmo del MDS clásico/Torgerson es el siguiente: $$\text{Euclidean distances}\to\text{Centered scalar products}\to\text{Optimal mapping},$$ es decir $$\text{Dissimilarities}\to\text{Similarities}\to\text{Optimal mapping}.$$ Lo que usted considera una "entrada" aquí, no importa realmente.
Esto es exactamente lo que está escrito en Hastie et al:
En cambio, en el escalamiento clásico [a diferencia del escalamiento métrico en general] empezamos con las similitudes [...]. Esto es atractivo porque hay una solución explícita solución en términos de vectores propios [...]. Si tenemos distancias en lugar de productos internos, podemos convertirlas en productos internos centrados si las distancias son euclidianas [...] . Si las similitudes son de hecho productos internos centrados, el escalamiento clásico es exactamente equivalente a los componentes principales [...]. El escalamiento clásico no es equivalente al escalamiento por mínimos cuadrados [que minimiza la reconstrucción de las disimilitudes].
Véase mi respuesta en ¿Cuál es la diferencia entre el análisis de componentes principales y el escalamiento multidimensional? para los detalles matemáticos.
Gracias. Lo que dices es que la definición de Borg & Groenen es errónea: el estrés no es una función de las disimilitudes, sino de las similitudes. Dicho de otro modo, el "MDS clásico" de Borg & Groenen es el escalado de mínimos cuadrados de Hastie. ¿Está de acuerdo?
No, definitivamente no. Borg y Groenen parecen estar totalmente de acuerdo con Hastie et al., y utilizan el término "escalamiento clásico" (capítulo 12) para referirse al escalamiento de Torgerson, que es lo que también hacen Hastie et al.
@amoeba, acabo de navegar por algunos textos sobre MDS y he encontrado una confusión con la definición del término "MDS clásico". Algunas fuentes lo definen como tú, como =Torgerson's MDS aka PCoA. Pero más fuentes lo definen como "modelo euclidiano de matriz única MDS" (yo mismo pensaba así y sigo de acuerdo con esa costumbre). Si admitirlo entonces MDS clásico (aka Identity MDS) es lo que no es el MDS Replicado o el MDS Ponderado/Generalizado (versiones de INDSCAL).
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Supongo que puede estar equivocado. El término "MDS clásico" o "MDS más sencillo" suele entenderse como MDS euclidiano no ponderado, es decir, no el modelo INDSCAL. El MDS clásico trabaja con una matriz. Puede ser de similitudes o de disimilitudes. Por lo general, un programa convierte primero la primera en la segunda y procede. Porque el propio algoritmo suele estar escrito para las disimilitudes.
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La introducción de similitudes o disimilitudes en la función de tensión al cuadrado conduce a soluciones diferentes (véase la discusión en [1] entre la Ec.(14.100) y la Ec.(14.101)). Por lo tanto, es importante definir lo que entra en la función de tensión.