¿Fórmula para la siguiente suma?

Question

Simplemente me pregunto si existe una fórmula para la suma$S_n = \sum_{k=1}^{n} k^k$? Si lo hace, entonces ¿qué es? Si no, ¿cómo lo sabemos?

Answer 1

Según wolfram, no se conoce la forma cerrada de la fórmula para la anti-derivada de $x^x$, por lo que probablemente no existe ninguno. (Existe un algoritmo para comprobar si una función tiene un anti-derivada en términos de funciones elementales, que puede confirmar que $x^x$ no tiene un simple anti-derivada.) En general, las fórmulas para las integrales son normalmente más fáciles de obtener que las fórmulas para la serie correspondiente. Tan probable es que no sea fácil la expresión de su suma será encontrado. Sin embargo, yo no soy consciente de ningún algoritmos para determinar si una serie tiene una fórmula como se puede hacer para anti-derivados.