Demuestre$\sum_{k= 0}^{n} k \binom{n}{k} = n \cdot 2^{n}$ usando el teorema binomial para$n\geq1$

Question

Hago lo siguiente

$(1+x)^n= \binom{n}{0}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+...+\binom{n}{n}x^n$

diferenciando en ambos lados

$n(1+x)^{n-1}= \binom{n}{1}+2\binom{n}{2}x+3\binom{n}{3}x^2...+n\binom{n}{n}x^{n-1}$

entonces para $x=1$

$n \cdot2^{n-1} = \sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k}$

A partir de aquí, no sé cómo proceder, he tratado de multiplicar ambos lados para que$(1+x)$ haga$n \cdot2^{n}$, pero luego los cambios acumulativos, no sé cómo demostrar la igualdad.

Answer 1

Una forma más simple, no original, directa del teorema del binomio.

$ \begin{array}\\ S &= \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k}\\ &= \sum_{k=0}^n (n-k) \binom{n}{n-k} \qquad\text{replace } k \text{ by } n-k\\ &= \sum_{k=0}^n n\binom{n}{n-k}-\sum_{k=0}^n k\binom{n}{n-k}\\ &= n\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}-\sum_{k=0}^n k\binom{n}{k} \quad\text{since } \binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}\\ &= n2^n-S\\ \text{so}\\ S &=n2^{n-1}\\ \end {array} $

Answer 2

Cuando intentes probar algo y quedarte atascado, prueba siempre algunos ejemplos para asegurarte de que sea verdad :)

PS

Aquí, probemos$$\sum_{k= 0}^{n} k \binom{n}{k} {\LARGE \substack{? \\ =}} n \cdot 2^{n}$. Obtenemos$n = 1$ a la izquierda, y obtenemos$0 \binom{1}{0} + 1 \binom{1}{1} = 1$ a la derecha. Así que la afirmación no es correcta.

La declaración correcta es$1 \cdot 2^1 = 2$ $

Lo que está muy cerca de probar, puedo ver.