¿Cómo puedo expandir$|z_{1} - z_{2}|^2$?

Question

Estoy tratando de expandir$|z_{1} - z_{2}|^2$ donde$z_{1}$ y$z_{2}$ son números complejos.

¿Es exactamente lo mismo que con los números reales$z_{1}$ y$z_{2}$?

Answer 1

También eche un vistazo a los comentarios del usuario 57404 y de Will Jagy. Para terminar esto en una respuesta, tienes

PS

Así,

PS

Como conjugación compleja se distribuye sobre sumas y productos. Ahora, si quieres ir más lejos, puedes multiplicar esto:

PS

Así que estructuralmente, hay cierta similitud con el caso real.

Answer 2

Usando coordenadas polares, escriba$z_1=\rho e^{i\phi}$ y$z_2=re^{i\theta}$ donde$\rho=|z_1|$,$r=|z_2|$,$\phi=\arg(z_1)$ y$\theta=\arg(z_2)$. Entonces vemos que

$$ \begin{align} |\rho e^{i\phi}-re^{i\theta}|^2&=|\left(\rho \cos(\phi)-r\cos(\theta)\right)+i\left(\rho\sin(\phi)-r\sin(\theta)\right)|^2\\\\ &=\left(\rho \cos(\phi)-r\cos(\theta)\right)^2+\left(\rho\sin(\phi)-r\sin(\theta)\right)^2\\\\ &=\rho^2+r^2-2\rho r\cos(\theta-\phi)\\\\ &=|z_1|^2+|z_2|^2-2|z_1||z_2|\cos(\arg(z_1)-\arg(z_2)) \end {align} $$