¿Es la topología de operador débil (WOT) el límite de la isometría de operador unitario?

Question

Deje que $(U_{ \alpha })$ ser neto de operador unitario en $B \mathcal {(H)}$ s.t. $U_{ \alpha } \xrightarrow { \text {WOT}}V$ ¿Podemos concluir que V es una isometría? Si no es cierto, dé un ejemplo contrario.

Comentarios : Observo que si $U_{ \alpha } \xrightarrow { \text {SOT}}V$ entonces V es necesariamente isometría. Pero no pude justificar la afirmación del caso de la topología de operador débil ni probando ni dando un contra ejemplo.

Notas : $U_{ \alpha } \xrightarrow { \text {WOT}}V$ significa $ \langle U_{ \alpha }x,y \rangle\rightarrow\langle Vx,y \rangle $ para todos los x,y $ \in\mathcal {H}$ , $U_{ \alpha } \xrightarrow { \text {SOT}}V$ significa $ \Vert U_{ \alpha }x \Vert\rightarrow\Vert Vx \Vert $ para todos los x $ \in \mathcal {H}$ y $ \mathcal {H}$ es un Hilbert Space.

Cualquier comentario con respecto a probar la declaración o dar un contra ejemplo es muy apreciado. Gracias de antemano.

Answer 1

La respuesta es definitivamente no. De hecho, el wot-closure del conjunto de unidades es la bola de toda la unidad.

La prueba es una generalización de la idea, con matrices, que dado cualquier $t \in\overline { \mathbb D}$ existe una unidad $$ \begin {bmatrix} t&* \\ *&* \end {bmatrix}.$$

Concretamente, que $x \in B(H)$ ser una contracción, es decir. $\|x\| \leq 1$ . Los barrios en la topología de Wot son de la forma $$N=\{y:\ | \langle (x-y) \xi_j , \eta_j\rangle | \leq1 :\ \xi_1 , \ldots , \xi_m , \eta_1 , \ldots , \eta_m\in H\}.$$ Arreglar uno de esos $N$ y dejar $$L= \operatorname {span}\{ \xi_1 , \ldots , \xi_m , \eta_1 , \ldots , \eta_m ,x \xi_1 , \ldots ,x \xi_m ,x \eta_1 , \ldots ,x \eta_m\ }.$$ Deje que $p$ ser la proyección ortogonal sobre $L$ . Desde $ \dim L< \infty $ existe un subespacio $L' \subset L^ \perp $ con $ \dim L'= \dim L$ . Deje que $q$ ser la proyección ortogonal sobre $L'$ y $v$ una isometría parcial $v:L' \to L$ es decir. $v^*v=q$ , $vv^*=p$ . Ahora, basado en la descomposición $H=L \oplus L' \oplus ( L^ \perp\ominus L')$ que $$u= \begin {bmatrix} pxp & (p-(pxp)^*pxp)^{1/2}v&0 \\ v^*(p-(pxp)^*pxp)^{1/2} &- v^*pxpv&0 \\ 0&0&I \end {bmatrix}. $$ No es difícil comprobar que $u$ es una unidad. Y $$ \langle u \xi_j , \eta_j\rangle = \langle up \xi_j ,p \eta_j\rangle = \langle pup \xi_j , \eta_j\rangle = \langle pxp \xi_j , \eta_j\rangle = \langle x \xi_j , \eta_j\rangle. $$ Así que $u \in N$ . Como podemos hacer esto por cualquier barrio $N$ de $x$ podemos construir una red $u_N$ de los unitaristas con $u_n \to x$ wot.

Este argumento proporciona una forma de mostrar que las topologías de wot y sot no están de acuerdo (y son, de hecho, muy diferentes).