¿Cómo se puede afirmar que una secuencia es de Cauchy en términos de $\limsup$ y $\liminf$?

Question

¿Cómo se puede afirmar que una secuencia es de Cauchy en términos de $\limsup$ y $\liminf$?

Por ejemplo, ¿es cierto que una secuencia $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ es de Cauchy si y solo si $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}|a_{n+k}-a_n|=0$ para todo $k\in\mathbb{N}$?

Answer 1

La condición que estableces no es equivalente a ser Cauchy. Para ver esto, considera $$ a_n =\sum_{t =1}^n \frac {1}{t}. $$

Luego $$ 0\leq a_{n+k} - a_n =\sum_{t = n+1}^{n+k} \frac {1}{t}\leq \sum_{t = n+1}^{n+k}\frac {1}{n}\leq \frac{k}{n}\to 0 $$ cuando $n\to\infty $ para cada $k $, pero como es bien sabido, tenemos que $a_n \to \infty $, por lo que la secuencia no es Cauchy.

Como señaló @Börge, una secuencia real $(a_n)_n $ es Cauchy si y solo si es convergente si y solo si $\limsup_n a_n = \liminf_n a_n \in \Bbb {R} $.

Otra manera sería requerir $$ a_{n+k}-a_n \to 0 $$ cuando $n \to \infty $, uniformemente con respecto a $k $.