Una pregunta sobre productos tensoriales.

Question

Esto es acerca del problema de $5$ en la Sección IV.$5$ de Hungerford de Álgebra de libro. La pregunta es la siguiente:

Si $A'$ es un submódulo de la derecha $R$-módulo de $A$ $B'$ es un submódulo de la izquierda $R$-módulo de $B$, luego $$\frac{A}{A'} \otimes _R \frac{B}{B'} \cong \frac{A \otimes _R B}{C}$$ where $C$ is the subgroup of $\otimes _R B$ generated by all elements $' \otimes b$ and $\otimes b'$ with $un \en$, $' \'$, $b \B$, $b' \B'$.

Estoy empezando a alguna manera de captar el tensor de concepto de producto y estoy teniendo un montón de problemas cuando se trata de probar que algún producto tensor es isomorfo a un grupo determinado.

En particular, lo que yo siento que me causa problemas es el hecho de que en el producto tensor $A \otimes _R B$ no cada elemento es una primaria tensor de la forma$a \otimes b$, de modo que es muy difícil para mí, a veces, ser capaz de definir un mapa adecuado para intentar producir un explícito de isomorfismo.

No estoy seguro de si la característica universal podría ser de ayuda aquí, ya que puede tratar de definir un mapa $$\varphi : \frac{A}{A'} \times \frac{B}{B'} \longrightarrow \frac{A \otimes _R B}{C} $$ by $$\varphi(a + A', b + B') := a \otimes b + C$$

Pero he estado intentando sin llegar a ningún sitio. Cualquier sugerencias o consejos sobre cómo abordar este ejercicio sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Dado un mapa bilineal$A/A' \times B/B' \to M$ a algún grupo abeliano$M$, levántelo a un mapa bilineal$A \times B \to M$. Es fácil comprobar que

1. $A \times B \to M$ de factores a través de$A \otimes B/C$ de forma única,
2. $A/A' \times B/B' \to M$ puede ser factorizado como$\phi$ y el mapa$A \otimes B/C \to M$ en 1 únicamente.

Esto verifica la propiedad universal del producto tensorial.