Preimaging unidades unidades

Question

Estoy interesado en (unidad-preservación) homomorphisms $f: S \to T$ entre (conmutativa, con-unidad) anillos de $S$$T$, de modo que si $f(x)$ es una unidad, entonces la $x$ es una unidad para comenzar con. Por ejemplo, la inclusión de campos tiene esta propiedad, pero no trivial de localización como $\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$ no; envía a $2 \in \mathbb{Z}$, que no es una unidad, a $2 \in \mathbb{Q}$, lo que es. Estoy interesado en las respuestas a las siguientes dos preguntas:

1. Hay un nombre para tal $f$ que sí conservan las unidades a través de preimages?
2. Si no, hay una clase de mapas ampliamente reconocidas como útiles que disfrute de esta propiedad?

Estoy realmente interesado sólo en el caso de un surjection $R \twoheadrightarrow R_0$ cuyo núcleo es un ideal de a $I$ satisfacción $I^2 = 0$ (es decir, un cuadrado de cero extensión de $R_0$$I$). Pero, si esta propiedad tiene un nombre en general o si square-cero extensiones de producirse como tipos especiales de algunos ampliamente reconocidos por la clase de mapas con esta propiedad, me gustaría saber, así que puedo hablar acerca de esto con otras personas y no vayas a escoger un nombre que nadie reconoce.

Soy consciente de que esto también puede ser visto como una elevación de la propiedad, si que trota cualquier persona la memoria de los útiles de geometría palabras: ¿qué tipo de mapa de $\operatorname{spec} S \to \operatorname{spec} R$, de modo que para cualquier par de mapas de $\operatorname{spec} S \to \mathbb{G}_m$ $\operatorname{spec} R \to \mathbb{A}^1$ con los desplazamientos de la plaza $$\begin{array}{ccc} \operatorname{spec} S & \to & \mathbb{G}_m \\ \downarrow & & \downarrow \\ \operatorname{spec} R & \to & \mathbb{A}^1,\end{array}$$ there exists a lift $\operatorname{spec} R \to \mathbb{G}_m$ haciendo que los dos triángulos viaje?

Answer 1

El siguiente resultado proporciona una caracterización de cuando la propiedad de preguntar acerca sostiene que en el caso de un surjective de morfismos.

Reclamo: Si $f: S \to T$ es un surjective homomorphism de los anillos, a continuación, $f^{-1}(T^{\times}) = S^{\times}$ si y sólo si el núcleo de $f$ está contenida en el Jacobson radical de $S$.

Prueba: Si $f(s) \in T^{\times}$$f(s') = f(s)^{-1}$,$f(s s') = 1$. Por lo tanto la demanda se reduce a la comprobación de que $f^{-1}(1) \subset S^{\times}$, es decir, que $1 + \mathrm{ker}(f) \subset S^{\times}$. Esto es equivalente a pedir que $\mathrm{ker}(f)$ estar contenida en el Jacobson radical de $S$. QED

En general, el nilradical de $S$ está contenida en el Jacobson radical, así que, si $f$ es surjective y el núcleo de $S$ es un nil ideal , a continuación, la propiedad que usted está interesado en la sostiene. (Esto se generaliza su plaza de cero extensión de ejemplo.)

Si $S$ es un Jacobson anillo, por ejemplo, un determinado tipo de álgebra sobre un campo o $\mathbb Z$, a continuación, el Jacobson radical de $A$ coincide con el nilradical, por lo que para tales $S$ su condición mantiene (por $f$ surjective), precisamente cuando el núcleo de $f$ es un nil ideal.

Answer 2

Esta no es una respuesta a la pregunta exacta que me pidió, pero se va a hacer:

Los morfismos $\mathbb{G}_m \to \mathbb{A}^1$ es un abierto de inmersión, por lo tanto étale, por lo tanto formalmente étale. Este es exactamente significa que los mapas de morfismos $\operatorname{spec} R/I \to \operatorname{spec} R$ donde $I$ es nilpotent ideal en $R$, ascensor.