Cómo encontrar dos funciones$f,g :\mathbb Z_2^n\to \mathbb Z_2^n$, de manera que$f(x)+f(y) $ y$g(x)+g(y)$ determina$\{x,y\}$ únicamente

Question

El siguiente problema que me molesta de algunos días, no puedo borrar de mi mente para obtener una respuesta satisfactoria:

Cómo encontrar dos funciones $f,g :\mathbb Z_2^n\to \mathbb Z_2^n$ tal que dado $f(x)+f(y) $$g(x)+g(y)$ , podemos encontrar los dos elementos distintos $x,y\in \mathbb Z_2^n$ .

Mi intento : ( no he podido encontrar el enfoque correcto para el problema todavía)

La primera cosa que hice es suponiendo que podemos tomar $f=Id_{Z_2^n}$ (la identidad de la función en $\mathbb Z_2^n$) , y el problema es equivalente a encontrar $g$ $g(x+a)+g(x)=b$ tener uno o dos soluciones , pero de nuevo no pude encontrar ninguna función que va a hacer.

Así que me siento como que me estoy perdiendo algo importante aquí? ¿tienes algunas ideas/ sugerencias para mí?

gracias.

Editar

En primer lugar aquí es el problema original :

Esto es un juego entre dos preople, Persona $A$ elige dos elementos diferentes $x,y$$\mathbb Z_2^n$ . La persona $B$ no sabe $x$ ni $y$, pero puede preguntar a $A$ a una pregunta del tipo " ¿cuál es el valor de $f_1(x)+f_1(y), ...,f_k(x)+f_k(y)$?" para algunas funciones $f_1, f_2, ... f_k$, e $A$ es obstáculo para responder a esta pregunta en el formulario de $a_1,..., a_k$. Cómo muchas de las funciones debe $B$ utilizar para encontrar $\{x,y\}$?

Mi conjetura es que el $2$ preguntas son enaugh, y eso es lo que tratamos de probar sin mucho éxito.

La conjetura es apoyado por el hecho de que, el número de valores de $\{x,y\}$ $2^{2n-1}-2^{n-1}$ y el par $(f(x)+f(y),g(x)+g(y))$ puede tardar hasta $(2^n-1)^2$ valores de $n\geq 3$

---

Notación :

• $\mathbb Z_2$ indica el cociente del anillo del anillo de los enteros modulo el ideal de los números pares, alternativamente, que se denota por a ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• $\mathbb Z_2^n $ significa que el espacio vectorial de longitud $n$ $\mathbb Z_2.$
• Las funciones de $f$ $g$ no debería ser lineal o whatso jamás, todos los mapas son permitidos

Answer 1

Coloque una estructura de campo en$\Bbb Z_2^n$, luego elija$f(x)=x$ y$g(x)=x^3$.

Si$x \neq y$ y usted conoce$x+y = a ( \neq 0)$ y$x^3+y^3 = b$, entonces$b = (x+y)(x^2+xy+y^2) = a(a^2+xy)$, para que sepa$axy = b+a^3$.

Entonces$x,y$ son las dos raíces de$a(T+x)(T+y) = aT^2+a^2T+(b+a^3)$.

Esto no le proporciona una manera fácil de encontrar$x$ y$y$, pero es una prueba de que el mapa$(x,y) \mapsto (x+y,x^3+y^3)$ es$2$ - to -$1$ de distancia de la diagonal.