Deje $T : H\rightarrow H$ ser un operador compacto en un espacio de Hilbert $H$. Decir que $\lambda \in \mathbb C$ es un generalizada autovalor de a $T$ si hay algo de $n \geq 1$ tal que $(\lambda - T)^n$ no es inyectiva. Definir el tipo de espacio propio correspondiente a $\lambda$ a ser el espacio de $V$ de los vectores $x\in H$ tal que $(\lambda - T)^n x = 0$ algunos $n$. Estoy tratando de mostrar que $V$ es necesariamente finito dimensionales si $\lambda\not=0$. Puedo mostrar que el núcleo de $(\lambda - T)^n$ es finito dimensionales para cada una de las $n$. Pero, estoy teniendo problemas con la ampliación de este a la unión de todos estos núcleos. ¿Alguien tiene alguna sugerencia?
Respuesta
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Esta pregunta se responde en el Álgebra de Banach Técnicas para el Operador de la Teoría de Ronald G. Douglas, como parte del Teorema 5.22 en la segunda edición. El resultado que se declaró no mantiene para $\lambda = 0$ (por ejemplo, considere el operador cero).
Ya sabes que $\operatorname{ker}(T - \lambda)^n$ es finito dimensionales para cada una de las $n$, de modo que sólo necesitan demostrar que la generalizada espacio propio para $\lambda$ es igual a $\operatorname{ker}(T - \lambda)^n$ algunos $n$. Si suponemos que este no es el caso, entonces podemos formar un ortonormales secuencia de vectores $e_k \in H$ y estrictamente creciente secuencia de enteros positivos $n_k$ tal que $e_k \in \operatorname{ker}(T - \lambda)^{n_k}$ $e_k$ es ortogonal a $\operatorname{ker}(T - \lambda)^{n_k - 1}$. En particular, $e_k$ es ortogonal a $(T - \lambda)e_k$, por lo que
$||Te_k||^2 = ||(T - \lambda)e_k + \lambda e_k||^2 = ||(T - \lambda)e_k||^2 + |\lambda|^2 \geq |\lambda|^2.$
Debido a que la secuencia de $e_k$ es orthnormal, $e_k$ tiende débilmente a cero, y por la compacidad de $T$ tenemos que $Te_k$ tiende a cero en la norma. Esto es una contradicción ya que el $\lambda \not= 0$.
