Límite de $\frac{\sin(x)}{x}$ , como $x \rightarrow \infty$

Question

Recientemente, mostré a mis alumnos de Cálculo cómo demostrar que

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0, $$

utilizando el teorema de la compresión.

Una pregunta interesante que me hicieron varias veces fue: "¿cómo es que no podíamos concluir simplemente que es cero, sin utilizar el teorema del estrujamiento, ya que es obvio que el límite es cero?".

Les dije que la función sigue oscilando, aunque las oscilaciones sean minúsculas, por lo que hay que hacerla rigurosa aplicando el teorema del estrujamiento. No estaban convencidos...

¿Qué más podía decirles? ¿Hay algún buen contraejemplo o explicación?

(Sin argumentos épsilon-delta, por favor... )

Gracias,

Answer 1

Aplicar el método socrático de la dialéctica. Yo centrarse en preguntarles cómo lo perciben como algo obvio . A no ser que simplemente se precipitaran, lo cual no creo que fuera el caso, probablemente intuían el hecho de que $x \rightarrow \infty$ "lo suficientemente rápido" para anular la influencia que el numerador tiene sobre el valor de la fracción, es decir, entienden que el numerador está acotado mientras que el denominador no lo está.

Si es así, demuéstreles que el Teorema del Apretón no hace más que aprovechar este hecho "obvio". Si insisten en su obsolescencia, pregúntele a uno -el más capaz de los negadores lo hará- y pídale que muestre cómo lo demostraría. Guíele paso a paso y ayúdele a expresar su intuición de forma rigurosa, y eso sería el Teorema del Apriete.

En cuanto a los contraejemplos, si lo anterior sigue sin ser suficiente, tal vez se pueda probar con algo como $$\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^2}$$

(aunque convencerlos de que $\ln(x)\lt x$ podría ser complicado si no se presenta como un hecho)

Answer 2

Bueno, piénsalo por un segundo. El seno de cualquier cosa no puede ser menor que $-1$ y más de $1$ ( $-1\leqslant\sin{x}\leqslant1$ ). En otras palabras, lo que $\sin{x}$ rinde, el número en el numerador siempre se mantiene dentro del intervalo cerrado $[-1, 1]$ . Como el $x$ en el denominador se hace cada vez más grande, la fracción en general debe hacerse cada vez más pequeña tanto por el lado negativo como por el positivo, porque el numerador sólo oscila entre dos números fijos mientras se divide por un número cada vez mayor. El conjunto tiene que llegar a cero.