Obtener un resultado incorrecto al calcular$\int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^8}}dx$

Question

Yo estaba tratando de calcular $$\int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^8}}dx$$

Aquí es lo que yo hice:

Deje $u=x^4$

A continuación, $du=4x^3dx$

Por lo tanto, tenemos: $\int \frac{\frac14du}{\sqrt{1-u^2}}$

Deje $u=\sin \theta$,

A continuación, $du=\cos\theta d\theta$

Por lo tanto, tenemos $\frac14 \int \frac{\cos\theta d\theta}{\sqrt {cos^2\theta}}$

Yo estaba esperando a los resultados debido a $\sqrt {\cos^2\theta}=\pm \cos\theta$

Si $\sqrt {\cos^2\theta}=\cos\theta$,

luego tenemos el resultado $\frac14\sin^{-1}(x^4)+c$,

Si $\sqrt {\cos^2\theta}=-\cos\theta$,

luego tenemos el resultado $-\frac14\sin^{-1}(x^4)+c$.

La diferenciación de la primera, obtenemos de nuevo a la función bajo el signo integral, pero la diferenciación de la segunda, lo que tenemos es la función bajo el signo integral con un signo menos.Podría alguien decirme donde lo hice mal por favor?

Answer 1

Usted tiene en efecto dejar$x^4=\sin\theta$. Para completar, se puede observar que se elige$\theta$ entre$-\frac{\pi}{2}$ y$\frac{\pi}{2}$. En este caso, podemos decir un poco más, que$0\le \theta\le \frac{\pi}{2}$, ya que$x^4$ no es negativo.

Pero esa parte realmente no importa. Para$\cos\theta$ no es negativo en el intervalo completo$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$, así que$\sqrt{\cos^2\theta}=\cos\theta$.