¿Por qué se cumple lo siguiente para funciones continuas en$[0,1]$?
$\|\cdot\|_1 \leq \|\cdot\|_2 \leq \|\cdot\|_{\infty}$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
De la desigualdad de Holder (con$p=q=2$) se puede deducir que para todos$f\in C([0,1])$ $$ \ Vert f \ Vert_1 = \ int \ limits_0 ^ 1 | f (x) | dx = \ int \ limits_0 ^ 1 | f (x) | \ cdot | 1 | dx \ leq \ left (\ int \ limits_0 ^ 1 | f (x) | ^ 2dx \ right) ^ {1/2} \ left (\ int \ limits_0 ^ 1 | 1 | ^ 2dx \ right) ^ {1 / 2} = \ Vert f \ Vert_2 $$ Además, $$ \ Vert f \ Vert_2 = \ left (\ int \ limits_0 ^ 1 | f (x) | ^ 2dx \ right) ^ {1/2} \ leq \ left ( \ int \ limits_0 ^ 1 \ Vert f \ Vert_ \ infty ^ 2 dx \ right) ^ {1/2} = \ Vert f \ Vert_ \ infty \ left (\ int \ limits_0 ^ 1 1 dx \ right) ^ {1 / 2} = \ Vert f \ Vert_ \ infty $$
Anthony Shaw
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858
Dado que$x^{q/p}$ es convexo para$q/p\ge1$, la desigualdad de Jensen genera $$ \ | f \ | _p ^ q = \ left (\ int_I | f (x) | ^ p \ mathrm {d} x \ right ) ^ {q / p} \ le \ int_I | f (x) | ^ {pq / p} \ mathrm {d} x = \ | f \ | _q ^ q $$ donde$|I|=1$. Por lo tanto,$\|f\|_p\le\|f\|_q$ cuando$p\le q$.
Entonces, en un espacio de medida$1$,$\|f\|_p$ está aumentando monótonamente en$p$.
Kent
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201
Supongo que la ecuación debe leerse como$$\|\cdot \|_1 \lesssim \|\cdot \|_2 \lesssim \|\cdot \|_\infty,$$ i.e. $$\|\cdot \|_1 \leq C_1 \|\cdot \|_2 \leq C_2 \|\cdot \|_\infty$$ for suitable constants $ C_1> 0$, $ C_2> 0$. In other words, $ L ^ 1 \ supset L ^ 2 \ supset L ^ \ infty $ con inmersiones continuas. Esto es cierto si se integra en dominios de medida finita, como se desprende de la desigualdad de Hölder.
En el caso particular de su pregunta, se puede demostrar que puede tomar$C_1=C_2=1$.
