Laplace-Beltrami operador para las curvas

Question

Estoy CS importantes y han utilizado discretos de Laplace-Beltrami operador para 2D-colector (mallas de superficie). Me pregunto si es posible definir de Laplace-Beltrami operador para 1D-colector. Si esto es posible, voy a tratar de discretizar para polilíneas.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

El diferencial de operación en los diferentes malla está cerca de relacionarse con discreta cálculo exterior. Para una colección de direccional de los segmentos de línea, presumiblemente, en una superficie de malla, el operador Laplaciano se define como $\Delta = \delta d + d\delta$ donde $d$ es el exterior derivada e $\delta$ es el co-derivada en el adjunto sentido $\langle d \alpha,\beta\rangle = \langle \alpha,\delta\beta\rangle$, un 1 de cadena, $\alpha$ es una 0-forma, $\beta$ es un dual 1-forma.

Considere la posibilidad de una 0-forma $f$ definido en un conjunto de aristas $E$, $d \delta f$ se desvanece desde $d$ actúa en $\delta f$ que es una 1-forma, se obtiene un 2, 2-forma en un 1-la cadena es cero. Ahora tenemos
$$ \Delta f = \delta d f = \estrella d \estrella d f $$

donde $\star$ es el dual de Hodge operador que los mapas de 1-formas en el primal bordes $E$ 0-formas en el doble los bordes de $\star E$, en el que el doble de la que los bordes son de la colección de los puntos medios de los bordes.

Nos deja ignorar el límite para un momento, en un discreto sentido en algunos borde interior $e_{0,1}$ con la unidad direccional de vectores $l_{0,1}$, entonces la versión discreta de $d$ lee: $$ df = \frac{1}{|e_{0,1}|}\Big(f(V_{e,1}) - f(V_{e,0})\Big)\,dl_{0,1} $$ aplicar el dual de Hodge operador en este 1-formulario de llegar de nuevo a una 0-forma que se define en el punto medio de la $V_{e,1/2}$ de la $e_{0,1} = \overrightarrow{V_{e,0} V_{e,1}}$: $$ \estrella df(V_{e,1/2}) = \frac{1}{|e_{0,1}|}\Big(f(V_{e,1}) - f(V_{e,0})\Big) $$ Hacer lo mismo para el vecino de borde de $e_{1,2} = \overrightarrow{V_{e,1} V_{e,2}}$, $$ \estrella df(V_{e,3/2}) = \frac{1}{|e_{1,2}|}\Big(f(V_{e,2}) - f(V_{e,1})\Big) $$ Ahora se aplican $d$ nuevo: $$ d\estrella df = \frac{1}{|V_{e,3/2} - V_{e,1/2}|}\Big(\estrella df(V_{e,3/2}) - \estrella df(V_{e,1/2})\Big)\,dl_{1/2,3/2} $$ Por último aplicar el dual de Hodge de la 1-forma, obtenemos el Laplaciano de $f$ definido en el punto medio $V$ $V_{e,1/2}$ $V_{e,3/2}$(no necesariamente $V_{e,1}$): $$ \begin{aligned} \Delta f(V) &= \star d\star df (V) = \frac{1}{|V_{e,3/2} - V_{e,1/2}|}\Big(\star df(V_{e,3/2}) - \star df(V_{e,1/2})\Big) \\ &= \frac{1}{|V_{e,3/2} - V_{e,1/2}|}\left\{\frac{f(V_{e,2}) - f(V_{e,1})}{|e_{1,2}|}- \frac{f(V_{e,1}) - f(V_{e,0})}{|e_{0,1}|}\right\} \end{aligned} $$