Funcional de la ecuación de $f(xy)=f(x)+f(y)$ y la diferenciabilidad

Question

Yo quiero probar la siguiente afirmación:

Si $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ satisfacción $f(xy)=f(x)+f(y)$, y si $f$ diferenciable en a$x_0=1$, $f$ derivable para todos los $x_0>0$.

Gracias.

Answer 1

Deje $y=1+h/x$. Entonces $$f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(xy)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(y)}{h}=\frac{1}{x}\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(1+h/x)}{h/x}=\frac{f'(1)}{x}.$$

Answer 2

Es un poco confusa, pero yo la hago de la siguiente manera: 1). Demostrar que $f(1+x)/x\to f'(1)$ al $x\to 0$ 2). Fix $x>0$, se observa que la $\frac{f(x+xh)-f(x)}{xh}=\frac{f(1+h)}{xh}$; reescribir como
$$\frac{f(x+\delta)-f(x)}{\delta}=\frac{1}{x}\frac{f(1+\delta/x)}{(\delta/x)}$$ y concluye afirmando que $$\frac{f(1+\delta/x)}{(\delta/x)} \xrightarrow[\delta\to 0^+]{}f'(1)$$ y por lo tanto $$\frac{f(x+\delta)-f(x)}{\delta}=\frac{f'(1)}{x}$$