Prueba de la ecuación funcional Zeta

Question

$$ \pi^{-s/2}\zeta(s)\Gamma(s/2)=\pi^{-(1-s)/2}\zeta(1-s)\Gamma((1-s)/2) $$ (Esa es la ecuación que quiere probar)

Hola chicos, así que estoy tratando de demostrar la ecuación funcional de Riemann Zeta, a través de la función de Jacobi Theta, hizo lo siguiente.

Sea la función Theta

$$ \theta(z,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{2\pi i nz-\pi n^2t} $$

$$ \theta(0,t) =\theta(t) $$

Es propiedad de la siguiente función Theta (como se muestra aquí)

$$ \theta(t)=\frac{1}{\sqrt(t)}\theta\left(\frac1t\right) $$

También debemos

$$ \theta(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\pi n^2 t}=1+2\sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 t} $$

Teniendo en cuenta la $\Gamma(s/2)$ función tienen que

$$ \Gamma\left ( \frac s2 \right )=\int_{0}^{\infty} e^{-x}x^{s/2-1} dx $$

Hacer $x=\pi n^2t$

$$\pi^{-s/2}\zeta(s)\Gamma(s/2)=\frac12\int_0^\infty \left ( \theta(t)-1 \right )t^{s/2-1}\;dt$$

Después de muchas cuentas, sustituciones y demás, tenemos que

$$\pi^{-s/2}\zeta(s)\Gamma(s/2)=\frac12\int_1^\infty \left ( \theta(u)-1 \right )\left ( u^{(1-s)/2-1}+u^{s/2-1} \right )\;du+\frac{1}{s(s-1)}$$

En resumen, lo que quiero es saber (por favor, paso a paso), haciendo que este resultado completo en lo que quiero, es decir

SOLVE $$\frac12\int_1^\infty \left ( \theta(u)-1 \right )\left ( u^{(1-s)/2-1}+u^{s/2-1} \right )\;du+\frac{1}{s(s-1)}$$

o

$$\frac12\int_1^\infty \left ( \theta(u)-1 \right )\left ( u^{(1-s)/2-1}+u^{s/2-1} \right )\;du+\frac{1}{s(s-1)}=\pi^{-(1-s)/2}\zeta(1-s)\Gamma((1-s)/2)$$

Answer 1

HINT

Dejemos que $\xi(s)=\pi^{-s/2}\zeta(s)\Gamma(s/2)$ la función zeta completa. La función $\xi(s)$ se extiende a una función meromorfa sobre $\Bbb C$ , regular excepto los polos simples en $s = 0; 1$ que satisface la ecuación funcional $\xi(s) = \xi(1 - s)$ .

Encontró que

$$ \xi(s)=\frac12\int_1^\infty \left ( \theta(u)-1 \right )\left ( u^{(1-s)/2-1}+u^{s/2-1} \right )\;du+\frac{1}{s(s-1)} $$ para no tener que evaluar más.

La RHS es manifiestamente simétrica bajo $s \leftrightarrow 1 - s$ y analítica ya que $\theta(u)$ disminuye exponencialmente a medida que $u\to \infty$ . Con esto concluye la demostración de la ecuación funcional $\xi(s) = \xi(1 - s)$ y la continuación analítica de $\xi(s)$ .

Answer 2

La prueba se terminó con el resultado que obtuviste, mira el anwser de alexjo. Además, si quieres ver que el RHS es el que quieres, tienes que "volver" (digamos) a la expresión original. Haciendo el mismo proceso para $\Gamma((1-s)/2)$ obtenemos $$\pi^{-(1-s)/2}\zeta(1-s)\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)=\frac{1}{2}\int_0^\infty (\theta(t)-1)t^{(1-s)/2}\,\frac{dt}{t}.$$

Siguiendo los mismos cálculos que hiciste para el lado derecho obtienes $$\frac12\int_1^\infty \left ( \theta(u)-1 \right )\left ( u^{(1-s)/2-1}+u^{s/2-1} \right )\;du+\frac{1}{s(s-1)}=\pi^{-(1-s)/2}\zeta(1-s)\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right).$$ El cálculo preciso se puede encontrar en el libro de Edward Función zeta de Riemman (Sección 1.7).

Answer 3

Esto es para aclarar el funcionamiento, aunque ya se han dado todos los pasos. Hace que sea más sencillo de entender. Basado en el video https://www.youtube.com/watch?v=K6L4Ez4ZVZc pero elaborado a mi gusto. $$ \xi(s) = \pi^{-s/2}\zeta(s)\Gamma(s/2)= \int_0^\infty \psi(x) x^{s/2-1}\;dx $$ donde $\psi$ se da en términos de theta, $ \theta(x)= 2 \psi(x)+1 $ y $\theta$ tiene la ecuación funcional, $ \theta(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\theta(\frac1{x}) $ .

La integral se dejará en $\psi$ porque las matemáticas resultan más fáciles, así que reordena la ecuación funcional en términos de $\psi$ . $$ \psi(x)=\psi(\frac1{x})x^{-\frac12}+\frac12 x^{-\frac12} - \frac12 $$ Divide la integral en dos rangos, de 0 a 1, y de 1 a infinito. Cambia el nombre de la variable por t en la primera integral, para poder sustituirla de nuevo por x más adelante. $$ \xi(s) = \int_0^1 \psi(t) t^{s/2-1}\;dt + \int_1^\infty \psi(x) x^{s/2-1}\;dx$$ Haga la sustitución de $\psi(t)=\psi(\frac1{t})t^{-\frac12}+\frac12 t^{-\frac12} - \frac12 $ . Ponga los términos simples en su propia integral, $$ \xi(s) = \int_0^1 \psi(\frac1{t})t^{s/2-3/2}\;dt + \int_0^1 \frac12 t^{s/2-3/2} - \frac12 t^{s/2-1}\;dt + \int_1^\infty \psi(x) x^{s/2-1}\;dx$$ Sustituir $t = \frac1{x}$ así que $dt = -x^{-2} dx$ . Como t va de 0 a 1, x va de infinito a 1. Haz también la integración en los términos simples. $$ \xi(s) = - \int_\infty^1 \psi(x)x^{-s/2+3/2}x^{-2}\;dx + [ \frac12 \frac{t^{s/2-1/2}}{s/2-1/2} - \frac12 \frac{t^{s/2}}{s/2}]_0^1 + \int_1^\infty \psi(x) x^{s/2-1}\;dx$$ Cambia el sentido integral, para invertir el signo. Poner valores para el rango integral y simplificar. $$ \xi(s) = \int_1^\infty \psi(x)x^{-s/2-1/2}\;dx + \frac1{s-1} - \frac1{s} + \int_1^\infty \psi(x) x^{s/2-1}\;dx$$ Une de nuevo las dos integrales. Une las dos fracciones con denominador común.Saca una potencia de x como divisor, para obtener las potencias de x en la forma correcta. $$ \xi(s) = \int_1^\infty \frac{\psi(x)}{x}(x^{(1-s)/2}+x^{s/2})\;dx - \frac1{s(1-s)}$$ que sigue siendo la misma si se sustituye 1-s por s así, $$ \xi(s) = \xi(1-s)$$