Deje $f(X)\in\mathbb{Q}[X]$ ser de valor entero (es decir, $f(k)\in\mathbb{Z}$ todos los $k\in\mathbb{Z}$). Si $f(X)$ es de grado $n$, $f(X)=\sum_{i=0}^n\,A_i\,\binom{X}{i}$ algunos $A_0,A_1,\ldots,A_n\in\mathbb{Z}$. Si el contenido modificado $\tilde{C}(f)$ $f$ se define como el mcd de todas las $A_i$'s, a continuación, $\tilde{C}(f)$ es, precisamente, el mcd de los $f(k)$$k\in\mathbb{Z}$.
En Andre Nicolas del primer ejemplo, $X^2+X=0\binom{X}{0}+2\binom{X}{1}+2\binom{X}{2}$, de modo que $\gcd(0,2,2)=2$ es el mcd de los $k^2+k$$k\in\mathbb{Z}$. Para el segundo, $X^3-X=0\binom{X}{0}+0\binom{X}{1}+6\binom{x}{2}+6\binom{X}{3}$, de modo que $\gcd(0,0,6,6)=6$ es el mcd de los $k^3-k$$k\in\mathbb{Z}$.
Creo que esto también es verdad. Deje $S$ ser un subconjunto infinito de $\mathbb{Z}$ tal que, para cada prime $p\in\mathbb{N}$, entero $r>0$, e $j\in\left\{0,1,2,\ldots,p^r-1\right\}$ existe $s\in S$ tal que $s\equiv j\pmod{p^r}$. A continuación, $\tilde{C}(f)$ es también el mcd de los $f(k)$$k\in S$.
¿Por qué necesito el ridículo requisito en $S$? En primer lugar, es claro que $S$ debe ser infinita para el mcd ser establecida para cada valor entero polinomio en $\mathbb{Q}[X]$. Entonces, se deduce que, para cualquier $j\in\mathbb{Z}$, $\gcd(S-j)=1$, de lo contrario, $f(X)=X-j$ es un contraejemplo. Esto implica que $\gcd(S-S)=1$. Sin embargo, esto no es suficiente (al principio, pensé $\gcd(S-S)=1$ sería suficiente, como se ha mencionado en algunos de los comentarios de abajo). Si existe una prime $p\in\mathbb{N}$, un entero $r>0$, e $j\in\left\{0,1,2,\ldots,p^r-1\right\}$ tal que $s\not\equiv j\pmod{p^r}$ todos los $s\in S$, entonces podemos suponer que la $j=p^r-1$ y considerar la posibilidad de $f(X)=\binom{X}{p^r-1}$. En este caso, $\tilde{C}(f)=1$ pero es fácilmente visto por Lucas del Teorema que $p$ divide $f(k)$ todos los $k\in S$. Por lo tanto, $s\equiv j\pmod{p^r}$ debe tener una solución de $s\in S$ con el fin de satisfacer la condición de que $\tilde{C}(f)$ es el mcd de a$f(k)$$k\in S$.
