¿Qué es más general que la teoría de las categorías?

Question

Primero fue la aritmética con cálculos numéricos (es decir, una incógnita en un lado de una ecuación). Después, el álgebra con manipulaciones de variables (muchas incógnitas en cualquier parte de una ecuación). Luego se estudian sistemas que difieren de la aritmética ordinaria pero que comparten algunas de las mismas propiedades (ecuaciones en las que las incógnitas representan todo tipo de cosas, incluso ecuaciones funcionales) y luego estas propiedades se abstraen en el álgebra abstracta y se estudian clases enteras como grupos y anillos. Luego la teoría de categorías estudia los mapas entre estructuras (ecuaciones funcionales), luego la teoría de n-categorías, luego ...

¿Adónde vamos ahora? ¿Es la teoría de la categoría el final del camino en el futuro inmediato? ¿La única forma de avanzar es retroceder y generalizar en otra dirección (como las "ecuaciones generalizadas" de optimización o algo así)?

Answer 1

Realmente no veo una progresión lógica coherente en las ramas de las matemáticas que planteas. Las matemáticas no consisten sólo en abstracción y generalización, en hacer cosas cada vez más generales. La mayoría de las veces se trata de resolver problemas particulares. La teoría de categorías nació de la topología algebraica, en muchos sentidos como una conveniencia notacional, para dar sentido a los tremendos y difíciles de seguir líos que producían los topólogos algebraicos.

Si alguna vez has programado en un lenguaje como "C", conoces el concepto de "macro". Se trata de una idea reutilizable en muchos contextos diferentes. Se introducen diferentes objetos y la macro sigue teniendo sentido. Ese es gran parte del objetivo de la teoría de las categorías, ya que hay tantas ideas que se duplican una y otra vez en las matemáticas que resulta confuso darles nombres especiales. Así que llamamos a estas ideas con nombres genéricos que tienen sentido en una amplia gama de contextos, como "el coproducto (o lo que sea) en la categoría C (nombra tu categoría)", etc. Así se ahorra tiempo y energía. Además, una vez que has reducido lo suficiente el "volumen" de tu notación, se produce un fenómeno en el que los conceptos son más ligeros y fáciles de jugar. Así que, al utilizar la teoría de las categorías, a veces "aligeras la carga" un poco, lo que hace que otros descubrimientos sean quizá un poco más fáciles (si tienes suerte).

En este sentido, lo que se denomina "teoría de las categorías" me parece más bien un intento de encontrar el lenguaje natural para ciertos tipos de ideas. La idea general es que ciertos tipos de problemas se vuelven fáciles cuando se utiliza la notación adecuada. No todos, pero sí algunos. Algunos problemas son simplemente difíciles, como la conjetura de Poincare o el problema de Schoenflies, la clasificación de los grupos finito-simples, o la existencia y unicidad de las soluciones de Navier-Stokes (y si miras el trabajo que se ha hecho sobre estos problemas no verás casi nada de teoría de categorías, sólo un poquito en los problemas de Poincare y Schoenflies de alta dimensión). En la programación, la teoría de las categorías podría ser análoga al estudio de los tipos de datos y a la forma de estructurar la memoria de forma eficiente.

Answer 2

La generalización va hacia donde los problemas la llevan.

Answer 3

Robin Green tiene razón, creo, al decir que "esto debería ... ser etiquetado con fundaciones ".

Tim Porter dio con una parte esencial de la ecuación para los nuevos descubrimientos en las ciencias, incluidas las matemáticas: " madurez " o " preparación ". A medida que un niño pequeño pasa por las distintas etapas de desarrollo necesarias, va construyendo un repertorio de conceptos activos que informan y gestionan sus interacciones con el mundo exterior. En algún momento empieza a producir lenguaje, no sólo a escucharlo. Una vez hecho esto, el niño puede pasar a mantener conversaciones, a comprender historias que implican un diálogo, a leer y a escribir. Pero cada etapa es necesaria para las siguientes; ni siquiera un "genio" (*) puede saltarse completamente todas las etapas intermedias para pasar de oír el lenguaje directamente a escribirlo.

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(*) Una digresión sobre lo que entendemos por "genio": De hecho, lo que consideramos "genio" a menudo no es más que un grado de perspicacia que permite a su poseedor avanzar tan rápidamente a través de las etapas intermedias que puede parecer que esas etapas se han saltado. Veamos, por ejemplo, a Évariste Galois y sus sorprendentes conocimientos sobre la teoría de grupos: era claramente (y afortunadamente para nosotros) "anterior a su tiempo"; sin embargo, no podría haber producido sus resultados sin pasar primero -¡rápidamente! - a través de las necesarias etapas intermedias que incluían el estado actual de la teoría de grupos; ni sin aplicar perspicazmente esas ideas a nuevos terrenos.

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Del mismo modo, cuando estudiamos los aspectos matemáticos del mundo exterior, sólo podemos desarrollar conceptos cuando existe una base adecuada. En este sentido, el álgebra abstracta es fundamental para la teoría de categorías, las ecuaciones diferenciales para el análisis y la aritmética para el álgebra. no al revés ("lógico"). Así pues, cuando busquemos ideas fundamentales en matemáticas, recordemos que a una base adecuada para deducir otras ideas sólo se llega muy tarde en nuestro proceso de comprensión de esas otras ideas, mediante una considerable cantidad de abstracción y mucho sudor invertido en demostrar que esa base (o esquema de axiomas, o teoría) basta y es necesaria (¡sólo lógicamente!) para esas deducciones.

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En resumen, estoy diciendo que usuario1613 que el descubrimiento de algo más "fundamental" para las matemáticas que la teoría de las categorías (TC) probablemente sólo ocurrirá después de que hayamos tenido mucha más experiencia con el uso de la TC y su aplicación en lugares no cubiertos por las ideas que la generaron (es decir, fuera de la topología algebraica). O, si tenemos suerte, puede ocurrir antes de lo que "normalmente" cabría esperar si algún genio se presenta con ideas sorprendentes (pero no imposibles) que conecten la TC con áreas de estudio hasta ahora insospechadas. ¿Alguien quiere combinar la TC con la biología molecular? ;-)

Y por supuesto, el genio que aparezca será un "outsider", es decir, alguien que no es demasiado cerca al problema para empezar. Lo que pondrá en aprietos a muchos investigadores dedicados individual y colectivamente. Recuerde David Hilbert de la famosa Programa Hilbert ? Todo el mundo creía que aquí había un siglo de graves problemas que necesitaban ser dilucidados. Pero sólo duró unos 30 años, cuando llegó un joven Kurt ( Gödel para ser precisos), con algunas noticias devastadoras sobre problemas indecidibles en sistemas de prueba como Principia Mathematica , Bertrand Russell de la investigación de los fundamentos matemáticos. Irónico, que el último ...

Un punto más, y he terminado. Y es que los avances fundamentales suelen ser disruptivos, no son el resultado de un enfoque de producción en cadena para progresar; por definición, tal " firme como ella va La mentalidad "sólo puede producir más de lo mismo . Usuario1613 En el caso de la TC, se busca una gran idea en la tradición unificadora de la TC; pero la propia TC surgió de las dificultades para dar sentido a la topología algebraica, no del ímpetu por producir algún tipo de Teoría del Campo Unificado para las matemáticas. Estoy dispuesto a apostar que si, por ejemplo, te dedicas a encontrar "la cosa más abstracta que la TC", sólo avanzarás si primero haces varios descubrimientos totalmente inesperados sobre cosas aparentemente no relacionadas.

Answer 4

Una pequeña reflexión sobre las direcciones más allá de la teoría de las categorías tal y como la conocemos sería que, en su forma actual, es difícil modelar problemas probabilísticos o de teoría de la optimización, aunque parece que hay algunos casos, por ejemplo, en la modelización de redes, en los que se necesitan tanto ideas elementales de teoría de las categorías como enfoques "optimizadores", pero que, hasta ahora, interactúan mal. Algunas de las discusiones en el café n-Cat han ido un poco en esa dirección. Los problemas están ahí, pero las ideas sobre cómo entrar en esa área probablemente aún no están "maduras".

Answer 5

Respuesta final: La teoría de tipos y los fundamentos univalentes

El Libro

La paradoja de la categorización como teoría fundacional es que pretende divorciarse de la teoría de conjuntos, pero lo hace basándose en intuiciones y formalismos que se explican mejor en formato de conjunto. Así, la TC es la mejor forma de pensar en los conjuntos y en las estructuras que generalizan a partir de ellos y muy útil para el estudio de la teoría de conjuntos. como estructuras. Pero cuanto más nos alejamos de los atributos tradicionales de un conjunto, la teoría de las categorías se vuelve más polémica o, al menos, más difícil de trabajar. Normalmente, esto se "barre bajo la alfombra" al centrarnos en los objetos y sus morfismos en lugar de en clases y sus morfismos, alejándonos en cierto modo de la naturaleza estrictamente cuantitativa de la teoría de conjuntos para adentrarnos en el mundo más cualitativo de las clases.

Pero en mi opinión, esto es como dibujar un montón de unos y ceros en un papel con carbón, luego emborronarlo con una goma de borrar para que parezca una cara indescriptible, y luego decir que se ha progresado de la clase de conjunto (se puede contar el número de borrones) a una clase de caras (no se pueden contar las caras que la mancha representa) cuando en realidad la cara que se puede representar siempre estará limitada por la puntuación inicial del uno y el cero en el carbón y por lo tanto sigue reflejando una naturaleza estructuralmente basada en el conjunto

Dejando a un lado mis opiniones sobre la presencia implícita de la teoría de conjuntos dentro de las categorías, la noción de un tipo de objeto y lo que se puede hacer sobre ese tipo es una construcción que resulta familiar a todos los programadores del mundo. Así que las nociones de polimorfismo y herencia son un juego de niños para un programador orientado a objetos, pero son muy difíciles de tratar desde una perspectiva categórica básica, ya que requieren que un objeto tenga múltiples identidades y esto lleva a construcciones como las multicategorías, o las categorías de color, etc. Pero como la teoría de tipos se construye desde el primer día sobre la noción más abstracta de un tipo (que a todos los efectos puede considerarse la clase categórica), está mejor equipada para tratar con estructuras que no tienen absolutamente ninguna relación con los conjuntos.

En efecto, la teoría de tipos permite dibujar la cara con exactitud y luego tratar esa construcción como su propia identidad matemática, ser su propia "cosa" en lugar de tener que construir esa identidad digitalmente y estar limitado por las combinaciones de unos y ceros emborronados.