Tengo una función definida en el entero-radian entradas desde el círculo unidad en el plano complejo. Es discontinua?

Question

Recientemente, algunos colegas y yo tenía necesidad de considerar la siguiente función definida en una parte del plano complejo $$f:(e^{in},e^{im})\quad\mapsto\quad e^{inm},$$ donde $n$ $m$ son enteros no negativos. Debido a que estos son entero radianes los ángulos, se deduce que los números de la forma $e^{in}$ son densos en el círculo unitario, y solo tenemos en cuenta la función de $f$ en la entrada de la forma$e^{in}$$n\in\mathbb{N}$.

Observe que la función de $f$ es continua en cada coordenada por separado, ya que si uno corrige el primer valor de entrada en$e^{in}$, $f(e^{in},z)$ está de acuerdo con $z^n$ $z$ en su dominio, y de manera similar a $f(z,e^{im})=z^m$, cuando se $m$ es fijo, y en cada caso, son continuas las funciones unarias.

Pero creo que la función de $f$ es probable discontinuo como un binario de la función en su dominio.

Puedes probarlo?

Answer 1

Alex Wilkie me envió el siguiente argumento por correo electrónico, y que los publique transcrito aquí con su permiso.

La transcripción.

Vamos $$2\leq N_0 < N_1 <\cdot$$ and $$1\leq k_0 < k_1 <\cdots$$ ser estrictamente creciente secuencias de enteros, y $$t_0, t_1, \ldots$$ una secuencia de números reales con $$(\ast)\qquad 2\pi k_j-N_j = \frac{t_j}{N_{j-1}}$$ y $$(\ast\ast) \qquad \frac{\pi}{2} \leq |t_j| \leq \pi.$$ Tales secuencias son fáciles de construir, utilizando el teorema de Dirichlet (y, por supuesto, el hecho de que $\pi$ es irracional).

Entonces, por $(\ast)$, tenemos $$e^{iN_j}=e^{i(2\pi k_j-\frac{t_j}{N_{j-1}})}\1\quad\text{ como }\quad j\to\infty$$ y así también $$e^{iN_{j-1}}\to 1\quad\text{ as }\quad j\to \infty.$$ Por lo tanto, $f(e^{iN_j},e^{iN_{j-1}})\to f(1,1)=1$ si $f$ fueron continua.

Sin embargo, $$f(e^{iN_j},e^{iN_{j-1}})=e^{iN_jN_{j-1}}=e^{i(2\pi k_jN_{j-1}-t_j)}=e^{-it_j},$$ que converge a un punto (si es que converge en todos) en la mitad izquierda del plano -. $\Box$

De hecho, sólo una muy débil del teorema de Dirichlet es necesario: sólo que $|N\pi - M|$ puede hacerse arbitrariamente pequeña para los números enteros $M$, $N$.