Cuando es : C(X) --> C(Y) una composición operador?

Question

Una composición operador $C\_T : C(X) \to C(Y)$ $T \in C(Y, X)$ está definido por $C\_T f := f \circ T, f \in C(X)$.

He leído en el libro acerca de la Composición de los Operadores por Singh y otros que no trivial álgebra homomorphism $A : C(X) \to C(Y)$ es una composición operador (lo que significa que hay un $T$$A = C\_T$) si $A(\overline{f}) = \overline{A(f)}$ tiene para todos los $f \in C(X)$. Esto es cierto para $X$, $Y$ compacto Hausdoff espacios. La prueba no es difícil si uno utiliza el isomorfismo isométrico $j(X) = M(C(X))$ ($j$ la asignación de $X$ en el espacio de dirac funcionales, $M$ siendo el espectro de la álgebra $C(X)$).

Es cierto esto todavía si $X, Y$ son hemicompact k-espacios?

Si no puedes dar un contraejemplo?

Def.: Un espacio topológico $X$ es hemicompact si hay una secuencia $(K_n)$ compacto pone en $X$ $\bigcup_n K_n = X$ $K_n \subset K_{n+1}$ natural de todos los $n$ y si por cualquier compacto $K$ $X$ hay un $n$$K \subset K_n$.

Def.: Un espacio topológico $X$ es un k-espacio si cada subconjunto de intersección de cada subconjunto compacto en un conjunto cerrado en sí es cerrado.

EDIT: Como justamente era señaló que se me olvidó mencionar que $A$ tiene que ser un álgebra de homomorphism. He corregido esto ahora y añadido las definiciones de hemicompact y k-espacio.

Answer 1

Para hemicompact espacio k- $X$ el espacio de continua homomorphisms de álgebra $C(X)$ a ℂ es $X$ (hasta el obvio isomorfismo). La prueba se puede encontrar, por ejemplo, en H. Goldmann "Uniforme de Frechet Álgebras". A continuación, el mismo de la construcción, como para espacios compactos darle el mapa de $T$.

Answer 2

En esta otra pregunta sobre la mathoverflow, Eric Wofsey dice que para cualquier espacio topológico $X$, la máxima ideales de $C(X)$ corresponden a los puntos de Stone-Cech compactification $\beta X$. Él dice que si $C(X)/I$ es isomorfo a $\mathbb{C}$, entonces cada función continua en $X$ se extiende continuamente a ese punto en $\beta X$. Mi intuición es que usted conseguirá lo que usted desea si usted puede construir una adecuada función continua de $X$ a los números reales; como de costumbre adecuados significa que la imagen inversa de cualquier conjunto compacto es compacto. No sé que sería necesario que las condiciones en $Y$. También no sé si sus condiciones en $X$ el rendimiento de esta función, pero tienen un aspecto similar.

(Esto no se entiende como una respuesta completa, pero es algo).

Answer 3

Voy a riesgo de hacer de este un post, no un commment.

Creo que los números reales $\mathbb R$ son una hemicompact $k$-espacio. Ciertamente, $\mathbb R = \bigcup_n [-n,n]$ e si $K\subseteq\mathbb R$ es compacto, entonces es acotada, por lo tanto, en algunos $[-n,n]$. Es un k-espacio, por si $K\subseteq\mathbb R$ ha cerrado intersección con todos los pactos, a continuación, mirando las secuencias, es fácil ver que $K$ es cerrado.

Pero $\mathbb R$ no es compacto, por lo que supongo que significa realmente para ver el $C^b(\mathbb R)$, el álgebra/espacio de todos delimitada funciones continuas. Es ese derecho? Si no, entonces es un nuevo juego de pelota (como $C(\mathbb R)$ el espacio de todas las funciones continuas no es un espacio de Banach).

Pero si es así, entonces $C^b(\mathbb R)$ tiene carácter de espacio de $\beta\mathbb R$, y podemos aplicar Jonas construcción: escoja un punto de $w\in\beta\mathbb R\setminus \mathbb R$ y evaluar allí. Esto le da un álgebra de homomorphism $C^b(\mathbb R)\rightarrow\mathbb C$ que no es una composición del operador.

Edit: Sí, la pregunta original era acerca de todas las funciones continuas en X, no sólo el delimitada. Mi error...