Probar que un conjunto es Lebesgue Medible

Question

La medida es un grave punto débil de lo mío, y no puedo entender este problema:

Deje $E \subset \mathbb{R}$ ser Lebesgue medibles. Supongamos que para todo abierto intervalos de $I$, $m(E\cap I) \leq \frac{1}{2} m(I)$ donde $m$ denota la medida de Lebesgue. Demostrar que $m(E)=0$.

Cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

Podemos suponer que $m(E)<\infty$ por considerar primero los conjuntos de $E\cap[n,n+1]$, $n\in\mathbb{Z}$, que satisfaga las mismas propiedades. Supongamos por el contrario que $m(E) = \alpha>0$. Entonces existe un conjunto abierto $V$ (que podríamos escribir como una contables de la unión de intervalos disjuntos $V = \cup{I_k}$) tal que $E\subset V$$m(V) < 2\alpha$. Ahora $$ m(E) = m(E\cap V) = m(E\cap(\cup{I_k})) = m(\cup{(E\cap I_k)}) = \sum{m(E\cap I_k)}.$$ Derivar una contradicción.

Answer 2

Desde $E \subset \mathbb{R}$ es Lebesgue medible, existe pares distintos intervalo de $I_i$ tal que $$ E\subconjunto \bigcup_{i=1}^{\infty} I_i\quad\text{ y }\quad m(E)=\inf{ \sum_{i=1}^{\infty} m(I_i)}\etiqueta{1} $$ Desde $$ \quad E=E\cap\bigcup_{i=1}^{\infty} I_i=\bigcup_{i=1}^{\infty} (E\cap I_i) $$ Por medida de Lebesgue $$ m(E)\leqslant\sum_{i=1}^{\infty} m(E\cap I_i)\leqslant \frac1{2}\sum_{i=1}^{\infty}m(I_i) $$ Por (1), tenemos $$ m(E)\leqslant \frac1{2}m(E) $$ Por lo tanto $m(E)=0$.