Adivinando los pivotes

Question

Estoy tratando de tener una mejor idea de la intuición que hay detrás de la búsqueda de cantidades fundamentales. En el texto de inferencia estadística de Casella & Berger, tenemos una $beta( \theta ,1)$ pdf, $f_X(x)= \theta x^{ \theta -1}$ , $0 < x < 1$ . El texto dice que $X^ \theta $ es una buena suposición para un pivote, y luego procede a verificar que es una cantidad pivotante. Mi pregunta es, ¿cuál es la intuición que nos llevaría a creer que $X^ \theta $ es una buena suposición?

Answer 1

En ese caso, sólo mirando la densidad podemos ver que el cdf (dentro de la región donde la densidad es distinta de cero) es $x^ \theta $ .

es decir, sabemos que $P(X \leq x) = x^ \theta $ para $0<x<1$

Pero también sabemos que para las R.V.S. continuas $F_X(X)\,$ * es un uniforme estándar.

* (aquí suprimiendo la dependencia de los parámetros, pero siguen ahí por supuesto)

Así que en los casos en los que podemos escribir fácilmente nuestro pivote $Q=t(X; \theta )=F_X(X)$ automáticamente tendremos que la variable transformada tendrá una distribución que no depende de $ \theta $ (ya que es sólo $U(0,1)$ ).

Answer 2

Porque el teorema de la transformación.

Equivalente a la respuesta anterior, pero menos bonita.

Defina $Y = X^{ \theta }$ . Luego $X = Y^{1/ \theta }$ Entonces $$ f_Y(y) = \frac { \theta }{ \theta } [y^{1/ \theta }]^{ \theta -1}y^{1/ \theta - 1} = 1. $$

Está libre de $ \theta $ .