Encontrar las coordenadas en un triángulo isósceles

Question

Dado:

$A = (0,0)$

$B = (0,-10)$

$AB = AC$

Utilizando el ángulo entre el$AB$$AC$, ¿cómo están las coordenadas de C calculado?

Answer 1

Deje $a,b$ $c$ ser las longitudes de los lados y $A,B$ $C$ los ángulos.

$a^{2}=x^{2}+\left( y+10\right) ^{2}$

$b^{2}=x^{2}+y^{2}=10^{2}$

$b=c=10$

Por el (Neper) teorema de las tangentes (corolario de la Ley de las tangentes):

$\tan \frac{A-B}{2}=\frac{a-b}{a+b}\cot \frac{C}{2}$

En el otro lado

$\frac{A+B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}\quad C<\pi $

y por el teorema de los senos

$c\sen a=a\pecado C\ffi \left( x^{2}+\left( y+10\right) ^{2}\right) \pecado C=10\pecado$

Compilar, obtenemos:

$\frac{A-B}{2}=\arctan (\frac{\sqrt{x^{2}+\left( y+10\right) ^{2}}-10}{\sqrt{% x^{2}+\left( y+10\right) ^{2}}+10}\cuna \frac{C}{2})$

$\frac{A+B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}\quad C<\pi $

$(x^{2}+(\sqrt{100-x^{2}}+10)^{2})\sin C=10\sin A$

$y^{2}=10^{2}-x^{2}$

Tenemos que resolver este sistema de cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas $x,y,A,B$.

Edit: he comenzado este enfoque antes de que la pregunta ha sido actualizado.

Answer 2

edit (para que coincida revisado pregunta): Dada su revisión pregunta, no existe todavía el problema de C, siendo a cada lado del eje, pero ha especificado que AB=AC y que se les de $\mathrm{m}\angle BAC$ (el ángulo entre AB y AC), así como en mi respuesta original (abajo), la dirigida (trigonométrica) la medida del ángulo desde el eje x positivo a CA $\mathrm{m}\angle BAC-90^{\circ}$ y AC=AB=10, por lo que C tiene coordenadas $(10\cos(\mathrm{m}\angle BAC-90^{\circ}),10\sin(\mathrm{m}\angle BAC-90^{\circ}))$. (Esto coincide con una de las respuestas en Morón de la solución; la otra corresponde al otro lado del eje.)

respuesta original (cuando no se especifica que AB=AC y cuando el ángulo dado fue de C): Como se sugirió en los comentarios, hay varios casos. En primer lugar, C podría estar en cualquier lado del eje; supongamos que C tiene positivo de la coordenada x (dejando el caso en que se ha negativa coordenada x para resolver).

Segundo, ABC podría ser isósceles con AB=AC, AB=BC, o AC=BC. En el primer caso, $\angle B\cong \angle C$ (lo que no puede suceder a menos que C es aguda) y $\mathrm{m}\angle BAC=180^{\circ}-2\mathrm{m}\angle C$, por lo que el indicado (trigonométrica) la medida del ángulo desde el eje x positivo a CA $90^{\circ}-2\mathrm{m}\angle C$ y AC=AB=10, por lo que C tiene coordenadas $(10\cos(90^{\circ}-2\mathrm{m}\angle C),10\sin(90^{\circ}-2\mathrm{m}\angle C))$. El segundo caso es similar al de la primera (por lo que queda por resolver). En el tercer caso, C es equidistante de a y B, entonces C debe estar en la mediatriz de AB (como en J. Mangaldan del comentario), y por la simetría de esta mediatriz de AB también divide $\angle ACB$; a partir de allí, se puede utilizar trigonometría de triángulos para determinar las coordenadas de C (que quedan por resolver).

Los casos donde AB=AC (azul), AB=BC (rojo), y AC=BC (verde) (versiones más ligeras en el lado izquierdo del eje y) a continuación se muestran una serie de medidas de ángulo C entre 0 y 180°.

Answer 3

El uso de Polar de coordenadas. Un punto polar de coordenadas $(r,\theta)$ es el mismo punto en $x,y$ co-ordenadas (o como también se llama, rectangular de coordenadas) como $(r\cos \theta, r\sin \theta)$.

En este caso, el punto de $C$ se encuentra a una distancia $10$ $A$ cual es el origen, por lo $r = 10$.

Si el ángulo CAB es $\alpha$, el ángulo polar es $\frac{3pi}{2}-\alpha$ o $\frac{3pi}{2}+\alpha$, yo.e en polar de coordenadas $C$ es $(10,\frac{3pi}{2}-\alpha)$ o $(10,\frac{3pi}{2}+\alpha)$.

(Podría ser de ayuda para dibujar una figura).

Ahora volver a convertir a $x,y$ co-ordenadas.