Cómo probar $\exp(x)/(\exp(x)+1)^2$ ¿está a mano?

Question

He pasado algún tiempo tratando de probar que la función

$$f(x)=\frac{\exp x}{(\exp x+1)^2}$$

está en paz.

Intenté ampliar las diferentes $\exp x$ como series de potencia, pero me ha resultado muy difícil tratar de seguir los diferentes índices. ¿Es esa la forma correcta de proceder o hay alguna otra propiedad que no estoy teniendo en cuenta?

Saludos.

Answer 1

Una pista:

$$\frac{e^x}{(e^x+1)^2} = \frac{e^x}{e^{2x}+2e^x+1}.$$

Ahora intenta multiplicar el numerador y el denominador por un término determinado para obtener algo de aspecto más simétrico. Una pista ampliada más abajo en el texto del spoiler si quieres intentar averiguarlo por ti mismo desde aquí sin obtener la respuesta completa.

Multiplicar y dividir por $e^{-x}$ .

Answer 2

Comienza con $$ f(-x) = \frac{\exp(-x)}{(\exp(-x)+1)^2}. $$ Multiplicando el numerador por $\exp(2x)$ produce $\exp x$ .

Multiplicando el denominador por $\exp(2x) = (\exp x)^2$ produce $$ \Big( (\exp x) \, (\exp(-x)+1)) \Big)^2 = \Big( 1+ \exp x\Big)^2. $$

Answer 3

¿Por qué intenta expandirse a las series? Solo usa la definición - necesitas mostrar $f(-x) = f(x)$ Así que..:

$$ \begin{align} f(-x) & = \frac{e^{-x}}{(e^{-x}+1)^2} \cdot \frac{e^{2x}}{e^{2x}} \\ & = \frac{e^{-x}\cdot e^{2x}}{(e^{-x}+1)^2\cdot (e^x)^2} \\ & = \frac{e^x}{((e^{-x}+1)\cdot e^x)^2} \\ & = \frac{e^x}{(1 + e^x)^2} \\ & = f(x) \end{align} $$

Hecho.

También se puede reducir la expresión a una forma simétrica $$ f(x) = \frac{e^x}{(e^x+1)^2} \cdot \frac{e^{-x}}{e^{-x}} = \frac 1{(e^x+1)^2\cdot (e^{-x/2})^2} = \frac 1{(e^{x/2}+e^{-x/2})^2} $$ y concluir que ambos términos en el denominador se sustituyen por el $x$ interruptor de signos, preservando así el valor de una suma, por lo tanto $f$ está en paz.

Answer 4

Algo que puede ser más útil en general: en lugar de demostrar que $f(x) = f(-x)$ directamente, a veces es más fácil demostrar que $f(x) - f(-x) = 0$ . Escribir $f(x)$ y $f(-x)$ y tratar de combinar los términos puede sugerir una simplificación que no se te ocurriría de otra manera. En este caso, empezarías con $$\frac{e^x}{(e^x + 1)^2} - \frac{e^{-x}}{(e^{-x} + 1)^2}$$ (No creo que tenga sentido ocultar los pasos concretos, ya que aparecen en otras respuestas).
Podrías reconocer inmediatamente que multiplicar uno de estos términos por $e^{\pm 2x}$ en la parte superior e inferior lo convierte en el otro término. Si no, puedes probar la técnica clásica para sumar fracciones con diferentes denominadores: $$\frac{e^x(e^{-x} + 1)^2}{(e^x + 1)^2(e^{-x} + 1)^2} - \frac{e^{-x}(e^{x} + 1)^2}{(e^{-x} + 1)^2(e^x + 1)^2}$$ y entonces debería estar bastante claro que hay que expandir los numeradores, después de lo cual el resultado es bastante obvio.

La misma idea vale para demostrar que una función es impar, basta con demostrar que $f(x) + f(-x) = 0$ en lugar de $f(x) - f(-x)$ .

Answer 5

Sólo por diversión :

La serie de potencias de la función dada es horrible de procesar. Pero la de su inversa es sencilla:

$$\frac1{f(x)}=\frac{(e^x+1)^2}{e^x}=\frac{e^{2x}+2e^x+1}{e^x}=e^x+2+e^{-x}=2\cosh(x)+2.$$

Por la cancelación de los poderes de impar, la serie es $$4+x^2+2\frac{x^4}{4!}+2\frac{x^6}{6!}\cdots$$

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Ahora, por un acto de valentía, calculemos los términos hasta el sexto grado:

$$f(x)=\frac14\frac1{1+(\frac{x^2}4+\frac{x^4}{2\cdot4!}+\frac{x^6}{2\cdot6!}\cdots)}\\ =\frac14\left(1-\left(\frac{x^2}4+\frac{x^4}{2\cdot4!}+\frac{x^6}{2\cdot6!}\cdots\right)+\left(\frac{x^2}4+\frac{x^4}{2\cdot4!}+\frac{x^6}{2\cdot6!}\cdots\right)^2-\left(\frac{x^2}4+\frac{x^4}{2\cdot4!}+\frac{x^6}{2\cdot6!}\cdots\right)^3\cdots\right)\\ =\frac14\left(1-\left(\frac{x^2}4+\frac{x^4}{2\cdot4!}+\frac{x^6}{2\cdot6!}\cdots\right)+\left(\frac{x^4}{4^2}+2\frac{x^6}{4\cdot2\cdot4!}\cdots\right)-\left(\frac{x^6}{4^3}\cdots\right)\right)\\ =\frac14-\frac{x^2}4+\frac{13x^4}{48}-\frac{299x^6}{1440}\cdots$$

Obviamente no puede haber términos Impares.