Mostrar $V_a^b\alpha = \sup \left\{\int_a^bfd\alpha:\|f\|_\infty\leq 1\right\}$

Question

Dejemos que $\alpha:[a,b]\to\mathbb{R}$ ser de variación acotada y continua a la derecha. Dado $\varepsilon>0$ y una partición $P$ de $[a,b]$ Construir $f\in C[a,b]$ con $\|f\|_\infty \leq 1$ tal que $\int_a^bfd\alpha\geq V(\alpha,P)-\varepsilon$ . Concluir que $V_a^b\alpha = \sup \left\{\int_a^bfd\alpha:\|f\|_\infty\leq 1\right\}$ .

No estoy seguro de cómo mostrar esto, pero me parece que queremos construir $f$ que es una especie de función característica. Se agradecerá cualquier pista.

Answer 1

Dejemos que $x_i$ , $i=0,\dots n$ sea la partición $P$ . Dejemos que $h_j(t)=sgn(\alpha(x_{j+1})-\alpha(x_j))1_{(x_i,x_{i+1})}$ y $h=\sum h_j$ . $h$ es $\alpha$ integrable ya que es simple y $$\int_a^b hd\alpha= \sum_1^n |\alpha(x_{i+1})-\alpha(x_i)|$$ ahora sólo queremos aproximar esta función. Para cada $i$ y $\delta>0$ considerar los intervalos $[x_i+\delta,x_{i+1}-\delta]=J_{i,\delta}$ y considerar $f_{i,\delta}=h_i|_{J_{i,\delta}}$ . Toma $f_{\delta}:\cup J_{i,\delta} \to \mathbb{R}$ como $f_{\delta}=\sum f_{i,\delta}$ y se extienden linealmente (llamar a la extensión igual). Es fácil ver que el $f_{\delta}$ son continuos, ya que $\delta \to 0, f_{\delta}(t) \to h(t)$ excepto posiblemente en el $x_i$ que es de $\alpha$ -medida 0 , y $|f_{\delta}|\leq 1$ por lo que se puede aplicar el teorema de convergencia dominada a las integrales y concluir (formalmente hay que aplicar este último teorema a las integrales asociadas a las medidas no negativas dadas por la descomposición de Jordan de $\alpha$ ).

Sólo para aclarar, su $f$ será un $f_{\delta}$ para $\delta(\varepsilon)$ suficientemente pequeño.