Problema del cupón generalizado, o problema del cumpleaños al revés.

Question

Quiero resolver una variación del Problema del cobrador de cupones o (alternativamente) una ligera variante del problema estándar del cumpleaños. Tengo una ligera variante del estándar cumpleaños problema .

En el problema estándar del Recolector de Cupones, alguien elige cupones al azar (con sustitución) de entre n posibles cupones diferentes. Los cupones duplicados no nos sirven de nada; necesitamos un conjunto completo. La pregunta estándar es "¿Cuál es el número esperado de cupones (o la distribución de probabilidad en el número de cupones) para reunirlos todos?

En el problema estándar del cumpleaños, elegimos k elementos de entre n opciones con reemplazamiento (como k personas en una habitación, cada una con una de las 365 fechas de cumpleaños posibles) e intentamos determinar la distribución de probabilidad para cuántos valores únicos habrá (¿tendrán el mismo cumpleaños?).

En mi problema, alguien ha elegido k elementos entre n opciones y sé que había p valores distintos, pero no sé cuál era k. Si p = n este es el problema del cupón, pero quiero permitir que los valores de p que son menores que n. Quiero determinar la distribución de probabilidad para k (en realidad, todo lo que necesito es el valor esperado de k, pero la distribución sería interesante también) como una función de p y n.

Answer 1

Para hacerlo correctamente, se necesita algún tipo de distribución subyacente para $k$ . Por ejemplo, se podrían utilizar métodos bayesianos: empezar con una distribución a priori para $k$ multiplícalo por la probabilidad de ver $p$ para cada $k$ dado $n$ y dividir por una constante para obtener una distribución de probabilidad posterior para $k$ . A continuación, podría tomar la media, la mediana o la moda de esa distribución posterior como estimación central; con una prioridad uniforme inadecuada, tomar la moda daría la estimación de máxima probabilidad.

Otro enfoque basado en el cálculo del cobrador del cupón podría ser suponer que la persona pretendía conseguir $p$ distintos y se detenía cuando se alcanzaba este objetivo. En ese caso, el valor esperado de $k$ sería $$\sum_{j=n-p+1}^n \frac{n}{j} = n(H_n - H_{n-p}) \approx n \log_e \left(\frac{n}{n-p}\right) $$ aunque la dispersión sería relativamente amplia. $H_n$ es el $n$ número armónico.

Answer 2

Se trata de un problema estadístico, no probabilístico: se tienen datos observados (el valor $p$ ) y tratar de inferir el proceso probabilístico subyacente (el parámetro $k$ ). El proceso que va de $k$ a $p$ se entiende, pero lo contrario es mucho más difícil. No se puede "resolver" este problema de estimación de parámetros.

El estimador de máxima verosimilitud de $k$ sería $\hat k = p$ . Otros criterios estadísticos conducirían a estimaciones diferentes.