Supongamos que $E\subset \Bbb R^k$, $E$ es incontable y deje $P$ ser el conjunto de todos los puntos de condensación de $E$. Demostrar que $P$ es perfecto y que atmost countably muchos puntos de $E$ no $P$.
Intento:
Para mostrar que $P$ es perfecto me muestran que la $P$ es cerrado y cada punto de $P$ es un punto límite de $P$.
Deje $p$ ser un punto límite de $P$, $B(p,r)\cap P$ va a contener una infinidad de puntos de $P$. Ahora si $a\in B(p,r)\cap P $ $a$ es un punto de condensación y $B(p,r)$ es un barrio de $a$ y, por tanto, $B(p,r)$ contiene una cantidad no numerable de puntos de $E$ y, por tanto,$p\in P$.Por lo tanto $P$ es cerrado.
Ahora para mostrar que cada punto de $P$ es un punto límite de $P$.
deje $a\in P$ que $a$ es un punto límite de $P$,considere la posibilidad de $B(a,r) ;r>0$
A continuación, $B(a,r)$ va a contener una cantidad no numerable de puntos de $E$.Elija $b\in B(a,r)$ $B(a,r)$ es un barrio de $b$ y también contiene una cantidad no numerable de puntos de $E$ y, por tanto, $b\in P\implies b\in B(a,r)\cap P\implies a$ es un punto límite de $P$.
Problema
Incapaz de demostrar que atmost countably puntos de $E$ no $P$ es decir, para mostrar que $|E\setminus P|$ es contable.
Son por encima de las pruebas correcta? ¿Cómo resolver el problema?Cualquier ayuda.
