El espacio clasificatorio de las cubiertas abiertas de una variedad

Question

Dejemos que $M$ sea una variedad de dimensión $d$ y que $\mathsf{Disk}_{/M}$ sea la categoría de subconjuntos abiertos de $M$ que son difeomorfos a $\mathbb{R}^d$ con morfismos dados por inclusiones. Sea $\mathrm{B} \mathsf{Disk}_{/M}$ sea el espacio clasificatorio de esta categoría. ¿Cómo puedo demostrar que $\mathrm{B} \mathsf{Disk}_{/M}$ es equivalente en homotopía a $M$ ? Intuitivamente, $\mathrm{B} \mathsf{Disk}_{/M}$ debe haber un cierto engrosamiento de $M$ .

Creo que esto se desprende del teorema A de Quillen. Para aplicarlo, primero tendría que demostrar $M$ como el espacio clasificatorio de alguna categoría más manejable. He pensado en $M \simeq \left\lvert \operatorname{Sing} M \right\rvert$ pero $\operatorname{Sing} M$ no es el nervio de una categoría. La segunda subdivisión baricéntrica de $\operatorname{Sing} M$ es una categoría, pero es bastante complicada.

Como alternativa, podemos intentar un argumento directo. Si no me equivoco, tenemos $$\mathrm{B} \mathsf{Disk}_{/M} \simeq \operatorname*{colim}_{[n] \to \mathsf{Disk}_{/M}} \Delta^n.$$ Por otro lado, $$M \cong \operatorname*{colim}_{\mathsf{Disk}_{/M}} \mathbb{R}^d \simeq \operatorname*{hocolim}_{[0] \to \mathsf{Disk}_{/M}} \Delta^0.$$ Así que se podría intentar demostrar que las categorías del índice $\mathsf{Disk}_{/M}^{\mathbf{\Delta}}$ y $\mathsf{Disk}_{/M} \cong \mathsf{Disk}_{/M}^{[0]}$ son lo suficientemente similares. Sin embargo, no sé exactamente qué significa esto.

También me alegraría si alguien pudiera proporcionar una referencia de la prueba - ciertamente debería ser conocida.

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Editar: Escribir $M \simeq \operatorname*{hocolim}_{[0] \to \mathsf{Disk}_{/M}} \Delta^0$ es un poco engañoso. En el primer colímite para $\mathrm{B}\mathsf{Disk}_{/M}$ los datos de encolado se especifican mediante las identidades simpliciales en $\mathbf{\Delta}$ pero en el segundo colímite de homotopía, los datos de encolado no son visibles en absoluto en la expresión - depende de cómo todos los diversos $\mathbb{R}^d$ se cruzan - y se oscurece al escribir $\mathbb{R}^d \simeq \Delta^0$ que superficialmente no pueden cruzarse de forma significativa. En otras palabras, esto hace que la (posible) comparación sea menos obvia.

Answer 1

Creo que tengo al menos un esbozo de argumento. Recordemos que toda colmena admite una bueno abrir la tapa $\mathcal{U}$ . Escribamos $\mathcal{U}$ también para la categoría de posets de intersecciones finitas no vacías generadas por elementos de $\mathcal{U}$ ordenados por inclusión. El teorema del nervio en este caso debe aplicarse y deducimos que $\mathrm{B}\mathcal{U} \simeq M$ .

Hay una inclusión de categorías $\mathcal{U} \hookrightarrow \mathsf{Disk}_{/M}$ . Queremos aplicar Teorema de Quillen A a esto para mostrar $\mathrm{B}\mathcal{U} \to \mathrm{B}\mathsf{Disk}_{/M}$ es una equivalencia de homotopía, y entonces habríamos terminado. Para aplicar el teorema, tenemos que comprobar que para cada $\mathbb{R}^d$ en $\mathsf{Disk}_{/M}$ la categoría de la coma $\mathcal{U}_{\mathbb{R}^d/} := \mathcal{U} \times_{\mathsf{Disk}_{/M}} \mathsf{Disk}_{\mathbb{R}^d/ /M}$ está vacío o es contraíble. Pero $\mathcal{U}_{\mathbb{R}^d/}$ tiene un objeto inicial, a saber, la intersección de todos los conjuntos abiertos en la cubierta que contiene $\mathbb{R}^d$ Por lo tanto, es contraíble si no está vacía. Esto completa el argumento.