Prueba de integrabilidad de Riemann

Question

Deje que la función no acotada $f(x)$ en el intervalo de $[0,1]$ se define como

$$f(x)=\left\{\begin{array}{l l}\frac{1}{x}&x\text{ in }(0,1]\\ f(x)=0&x=0\end{array}\right.$$

Mostrar que $f(x)$ no es Riemann integrable.(Sugerencia:el infinito no es un número real.)

Answer 1

Al parecer, usted quiere una suma de Riemann argumento. Así que tome $n\geq 1$ y considerar la partición $\mathcal P_n=\{1/n, 2/n,\ldots,(n-1)/n,1\}$$[0,1]$. La correspondiente suma de Riemann de $f$ es $$ R(f,\mathcal P_n)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{\frac{k}{n}}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}. $$ Ahora que reconocer la suma parcial de la serie armónica. Se puede probar sin la integración que esto tiende a $+\infty$ por agrupación de términos de la siguiente manera $$ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{8}+\ldots $$ $$ \geq 1+ \frac{1}{2}+\left( \frac{1}{4}+ \frac{1}{4}\right)+ \left( \frac{1}{8}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\ldots=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\ldots $$ Así que estas sumas de Riemann tienden a $+\infty$ y, por tanto, $f$ no es Riemann-integrable.

Answer 2

En primer lugar, ¿cuáles son sus intentos en el problema?

Una sugerencia:

Recuerde que hay un teorema que dice Riemann integrable y Darboux integrable son equivalentes. Intente una prueba por contradicción, mediante la epsilon-definición de partición de ¿que significa ser "Darboux integrables". Debemos obtener una contradicción a la definición con una "cierta" epsilon.

Answer 3

Bueno, la antiderivada de $\frac{1}{x}$ $\log(x)$ no muestran lo que sucede cuando $x\to 0$

$$\int_0^1 f(x)\, \mathrm{d}x= \int_0^\varepsilon f(x) \, \mathrm{d}x + \int_\varepsilon^1 f(x)\, \mathrm{d} x$$ Por lo tanto $$ \int_0^1 f(x)\, \mathrm{d}x= \int_0^\varepsilon f(x)\, \mathrm{d}x+ \ln(1) - \ln(\varepsilon)=\int_0^\varepsilon f(x) \, \mathrm{d}x - \ln(\varepsilon)$$