La evaluación de la integral definida en el $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2}x^n\,\mathrm{d}x$

Question

Reconozco que el$\int_0^\infty \mathrm{e}^{-x}x^n\,\mathrm{d}x = \Gamma(n+1)$$\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x = \sqrt{\pi}$. Estoy teniendo dificultades, sin embargo con $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2}x^n\,\mathrm{d}x$. Por la sustitución de $u=x^2$, esto puede ser de forma equivalente, expresado como $\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-u}u^{\frac{n-1}{2}}\,\mathrm{d}u$. Esta integral es similar al primero de la lista (que equivale a la $\Gamma$ función), excepto que su dominio se extiende $\mathbb{R}$, al igual que la segunda integral (que equivale a $\sqrt{\pi}$). Alguna sugerencia sobre cómo evaluar esta integral puede ser de ayuda.

Answer 1

La función de $x\mapsto x^n e^{-x^2}$ es absolutamente integrable en la recta real. Si $n$ es impar, el integrando es impar, y hemos $$\int_0^\infty x^n e^{-x^2}\, dx = 0$$

Ahora considere el caso incluso. Se utiliza por primera vez la simetría para obtener la integral de a $[0,\infty)$ y, a continuación, utilizar la subsitution $x \rightarrow \sqrt{x}$ como sigue $$\int_{-\infty}^\infty x^n e^{-x^2}\, dx= 2\int_0^\infty x^n e^{-x^2}\, dx = 2\int_0^\infty x^{n/2} e^{-x}{dx\over2\sqrt{x}} = \Gamma\left({n + 1\over 2}\right).$$

Invocando el factorial de propiedad de la $\Gamma$ función se relaciona esta solución para el otro publicado solución.

Answer 2

Deje $I_n:=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}x^ndx$. Si $n$ es impar, a continuación,$I_n=0$$p\geq 1$: \begin{align} I_{2p}&=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}x^{2p}dx+\int_{-\infty}^0e^{-x^2}x^{2p}dx\\ &=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}t^{2p}dt+\int_0^{+\infty}e^{-t^2}(-t)^{2p}dt\quad (\mbox{left: } t=x,\mbox{right: } t=-x)\\ &=2\int_0^{+\infty}e^{-t^2}t^{2p}dt\\ &=2\int_0^{+\infty}e^{-s}s^p\frac 1{2\sqrt s}ds \quad (s=t^2)\\ &=\int_0^{+\infty}e^{-s}s^{p-1/2}ds\\ &=\left[-e^{-s}s^{p-1/2}\right]_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty}e^{-s}\left(p-\frac 12\right)s^{p-1-1/2ds}\\ &=\left(p-\frac 12\right)I_{2(p-1)}. \end{align} Finalmente llegamos $I_{2p+1}=0$ $I_{2p}=\sqrt \pi\prod_{j=1}^p\left(j-\frac 12\right)$ todos los $p\geq 0$.

Answer 3

Una manera muy sencilla de encontrar la integral es definir

$$I(a) \equiv \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$$

entonces tenemos

$$\frac{d^kI(a)}{da^k} = (-1)^k\int_{-\infty}^\infty x^{2k}e^{-ax^2}dx = \sqrt{\pi}\frac{d^k}{da^k}a^{-1/2}$$

Tomando el $k$'th derivado de la $a^{-1/2}$ y poner $a=1$ nos da

$$\int_{-\infty}^\infty x^{2k}e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}\frac{(2k)!}{4^k k!}$$

Este método es llamado a veces de Feynman de la integración.