Como se explica en este post, podríamos establecer una serie de tal forma que cada subserie tiene un irracional suma.
Por el contrario, si tenemos una serie de tal manera que todos, pero un número finito de términos son cero y el resto son racionales, entonces la suma de cada subserie será racional.
Sin embargo, si tenemos una serie convergente $\sum a_n$ de manera tal que una infinidad de $a_n$ son no-cero, podemos siempre seleccione una subserie que converge a un irracional constante. Para probar esto, comenzamos con la construcción de un larga:
- Tome $a_{n_1}$ a ser distinto de cero.
- Para cada una de las $k\geq 1$, tome $a_{n_{k+1}}$ a ser distinto de cero, la satisfacción de
$$
|a_{n_{k+1}}| < 3^{-k} \cdot |a_{n_k}|
$$
Ahora, para cualquier secuencia $(\xi_k) \in \{0,1\}^{\Bbb N}$, observamos que el mapa
$$
\Phi:(\xi_k) \mapsto \sum_{k=1}^\infty \xi_k \, a_{n_k}
$$
es inyectiva (uno a uno), y que cada una de las $\sum_{k=1}^\infty \xi_k \, a_{n_k}$ es la suma de algunos (absolutamente convergente) de la subserie.
Desde el set $\{0,1\}^{\Bbb N}$ es incontable y $\Phi$ es inyectiva, se puede concluir que la hay, al menos, una cantidad no numerable de valores que la suma de la subserie puede alcanzar. Sin embargo, sólo hay countably muchos racionales.
Así, debe existir una subserie cuya suma es irracional.
