Ecuación diofantina $x^3+z x^2-z y^2=0$

Question

No estoy familiarizado con las ecuaciones diofánticas. A lo sumo mis aproximaciones no dan resultados. Necesito resolver la siguiente ecuación $$ x^3+zx^2-zy^2=0 $$ donde $x,y,z\in\mathbb{Z}$

Answer 1

Tenemos $x^2 (x+z) = z y^2.$ Si $x=0$ las cosas se simplifican, así que supongamos que $x,y,z \neq 0$ hasta el momento en que podamos trabajar en ellos. $$ x+z = z \; \frac{y^2}{x^2}.$$ Definir un número racional $r = \pm y / x,$ así que $$ x + z = r^2 z. $$ Entonces $$ x = (r^2 -1)z, $$ y $$ y = \pm x = \pm r (r^2 -1)z. $$

ORIGINAL: Todas las soluciones racionales están dadas por un parámetro racional $r$ y cualquier valor de $z,$ con $$ x = (r^2 - 1) z, \; \; y = \pm r (r^2 -1) z = \pm r x. $$

Entonces $$ x + z = r^2 z, $$ $$ x^2 = (r^2 -1)^2 z^2, $$ $$ y^2 = r^2 (r^2 -1)^2 z^2, $$ $$ x^2 (x + z) = (r^2-1)^2 z^2 \cdot r^2 z = r^2 (r^2-1)^2 z^3, $$ $$ y^2 z = r^2 (r^2 -1)^2 z^2 \cdot z = r^2 (r^2 -1)^2 z^3. $$ Así que $$ 0 = x^2 (x + z) - z y^2 = x^3 + z x^2 - z y^2. $$

A continuación, ¿cómo conseguimos que esto salga como números enteros, sin buscar un denominador común? tomando el parámetro $r = p/q$ con $\gcd(p,q) = 1,$ obtenemos algún número entero $s$ con $$ x = (p^2 - q^2 )q s, \; y = \pm (p^2 - q^2 )p s, \; z = q^3 s. $$ Que dice que podemos multiplicar cualquier momento que queramos por algún $s,$ y por el momento podríamos tomarla como 1, resultando en una solución primitiva de dos parámetros $$ x = (p^2 - q^2 )q , \; y = \pm (p^2 - q^2 )p , \; z = q^3. $$ Mirando de nuevo, podemos lograr $\pm y$ simplemente negando $p,$ por lo que obtenemos una respuesta más bonita con $$ x = (p^2 - q^2 ) \;q , \; \; \; y = (p^2 - q^2 ) \; p , \; \; \; z = q^3. $$ Esto se encarga de que no sea cero $z.$ Si $z=0,$ entonces $x=0$ pero $y$ puede ser cualquier cosa. Sin embargo, habiendo borrado el factor $s,$ estamos buscando sólo soluciones primitivas, por lo que esto obligaría a $y = \pm 1$ si $y$ es distinto de cero. Como esta situación está cubierta por $p = -1,0,1, \; \; q = 0,$ Yo diría que estamos en buena forma.