Irreductibilidad de $1+x+x^2+\cdots+x^{96}+x^{97}+x^{98}$

Question

La pregunta que me encuentro es

Determinar si el polinomio $1+x+x^2+\cdots+x^{96}+x^{97}+x^{98}$ es irreducible en $\mathbb Q[x]$ o no

Todos los métodos que aprendí (Criterio de Eisenstein, Teorema de la raíz racional y reducir el polinomio a $\mathbb F_p$ ) falla. No tengo ni idea de la pregunta.

Answer 1

Este es el secreto que nadie te cuenta: $X^{99}-1$ es el polinomio cuyas raíces son las noventa y nueve raíces de la unidad, de las cuales una es $1$ para que $X-1$ divide $X^{99}-1$ , con el cociente su polinomio. Pero las matemáticas (moderadamente) avanzadas te dicen que $X^n-1$ es el producto de los "polinomios ciclotómicos" $\Phi_d(X)$ , donde $d$ pasa por los divisores de $n$ . $\Phi_d$ es el polinomio cuyas raíces son las $d$ -Raíces de unidad que no son $d'$ -raíces de la unidad para cualquier $d'<d$ para que $\Phi_1(X)=X-1$ , $\Phi_2(X)=X+1$ y $\Phi_3(X)=X^2+X+1$ . Todos los polinomios ciclotómicos tienen sus coeficientes en $\Bbb Z$ .

Como ejemplo particular de lo que dije arriba, tenemos: $$ X^{99}-1=\Phi_1\Phi_3\Phi_9\Phi_{11}\Phi_{33}\Phi_{99}\,, $$ y su polinomio es el producto anterior con el factor $X-1=\Phi_1$ omitido. Los factores que la gente ha exhibido son $\Phi_3$ , $\Phi_9$ y $\Phi_{11}$ .

Answer 2

Su polinomio es divisible por $1+x+x^2$ . Esto se puede comprobar de muchas maneras, por ejemplo la división de polinomios. O bien dividir en grupos de $3$ El primero es $1+x+x^2$ El segundo $x^3(1+x+x^2)$ y así sucesivamente. O bien se puede ver que $e^{\pm 2\pi i/3}$ son raíces.

Answer 3

Para los que llevan la cuenta en casa: ESTO SE ME ACABA DE OCURRIR. Multiplícalo.

$$ (1 + x + x^2 + \cdots + x^{10})(1 + x^{11} + x^{22} + \cdots + x^{88} ) $$

O

$$ (1 + x + x^2 + \cdots + x^{8})(1 + x^{9} + x^{18} + \cdots + x^{90} ) $$