En un espacio métrico por definición, no. Uno de los axiomas de los espacios métricos (a veces llamado "identidad de indiscernibles" ) dice que la distancia entre dos puntos distintos cualquiera debe ser estrictamente mayor que cero.
(Por supuesto, si no se requiere que los puntos sean distintos, entonces es perfectamente posible que, por ejemplo, la distancia del punto $A$ para señalar $B$ sea cero; en un espacio métrico, esto sucede si y sólo si $A = B$ .)
Sin embargo, a veces es útil estudiar espacios en los que dos puntos distintos son se permite tener una distancia cero. Tales espacios, si satisfacen todas las otros axiomas de un espacio métrico, se llaman espacios pseudométricos .
Sin embargo, resulta que la teoría de los espacios pseudométricos no es significativamente diferente de la de los espacios métricos ordinarios. En particular, uno de los otros axiomas de los espacios (pseudo)métricos, el desigualdad del triángulo dice que, para tres puntos cualesquiera $A$ , $B$ y $C$ la distancia desde $A$ a $C$ no puede ser mayor que la distancia de $A$ a $B$ más la distancia de $B$ a $C$ . Aplicado a un espacio pseudométrico, esto implica que, si la distancia entre puntos $A$ y $B$ es cero, entonces sus distancias a cualquier otro punto deben ser iguales. Por lo tanto, cualquiera de estos puntos es realmente indistinguible, en lo que respecta a la métrica.
Esto significa que, dado cualquier espacio pseudométrico, podemos formar un nuevo espacio a partir de él identificando cualquier punto que tenga una distancia cero entre sí, y tratándolos como si fueran el mismo punto. El espacio cociente resultante es entonces un espacio métrico completo, y su métrica contiene esencialmente toda la información sobre el pseudométrico original, excepto el número de puntos indistinguibles que fueron identificados para producir cada punto en el nuevo espacio.
