Si $\lim_{x\to \infty} \left(1+\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}\right)^{2x} = e^2$, encuentra $a,b\in \mathbb{R}$

Question

Si $\displaystyle\lim_{x\to \infty} \left(1+\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}\right)^{2x} = e^2$, encuentra $a,b\in \mathbb{R}$

Intenté esto convirtiendo la expresión dada dentro de los paréntesis (denotada por $f(x)$) en $e^\left({\displaystyle\lim_{x\to \infty}{2x}{\ln(f(x))}}\right)$ y luego evaluando la potencia con $2$. Pero en realidad no obtuve la solución correcta.

Encontré una solución aquí pero no pude entender cómo lo hicieron. Siento que estábamos en la misma línea que yo, excepto que uno de nosotros hizo algo mal.

Answer 1

Establecer $$1+\frac{a}{x}+\frac{b}{{{x}^{2}}}=\left( 1+\frac{\alpha }{x} \right)\left( 1+\frac{\beta }{x} \right)=1+\frac{\alpha +\beta }{x}+\frac{\alpha \beta }{{{x}^{2}}}$$ Entonces $$a=\alpha +\beta \ \ \text{ y }\ \ b=\alpha \beta ,$$ Ahora $$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{a}{x}+\frac{b}{{{x}^{2}}} \right)}^{2x}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{\alpha }{x} \right)}^{2x}}{{\left( 1+\frac{\beta }{x} \right)}^{2x}}={{e}^{2\alpha }}{{e}^{2\beta }}={{e}^{2\left( \alpha +\beta \right)}}={{e}^{2a}}$$ Por lo tanto ${{e}^{2a}}={{e}^{2}}\Rightarrow a=1$ y el valor de $b$ es arbitrario.

Answer 2

Nota que tenemos

$$\left(1+\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}\right)^{2x}=\left[\left(1+\frac{ax+b}{x^2}\right)^{\frac{x^2}{ax+b}}\right]^\frac{2ax^2+2xb}{x^2}\to e^{2}$$

cuando $a=1$ para cada $b$.

Answer 3

Puedes usar la serie de Taylor de $ln(1+u) = u-\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{3} ...$

Así, al hacer $u=\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}$ obtenemos
$ln(1+\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2})^{2x} = 2x\left( (\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2})-(\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2})^2 ...\right) = 2a+\frac{2b-a^2}{x} ...$

Todos los términos adicionales tendrán potencias aún mayores de $x$ en el denominador, por lo que mientras $x \rightarrow \infty$, tienden a cero. Tomando el logaritmo del otro lado, obtienes $2a = 2e$, entonces $a = 1$ y b es libre.

Answer 4

Sabemos que

$$\ln (1+X)\sim X (X\to 0)$$

así que

$$\ln (1+\frac {a}{x}+\frac{b}{x^2})=$$ $$\ln\Bigl(1+\frac {a}{x}(1+\frac {b}{ax})\Bigr)$$ $$\sim \frac{a}{x} \; (x\to +\infty)$$

el límite es seguramente $$e^{2a} $$

Entonces $a=1$ y $b $ es arbitrario.

Answer 5

Con $f(x)=1+\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}$ tenemos cuando $ x \to + \infty$: $$\ln(f(x))= \ln \left(1+\frac{a}{x}+o\left(\frac{1}{x} \right) \right)=\frac{a}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)$$ por lo tanto: $$ 2x \ln(f(x))= 2a+o(1)$$ es decir: $$\lim_{x \to + \infty} 2x \ln(f(x))=2a$$